§ 63. Об устойчивости прямоугольной пластинки с опертыми краями при действии касательных напряжений

Если прямоугольную пластинку с опертыми краями подвергать действию касательных усилий равномерно распределенных вдоль сторон пластинки (рис. 119), то при некотором критическом значении этих усилий плоская форма равновесия пластинки перестает быть устойчивой. Пластинка выпучивается и при большой длине подразделяется на полуволны линиями, наклоненными к осям причем линии наибольших прогибов располагаются, как показывают опыты, приблизительно нормально к направлению наибольшего сжатия.

Рис. 119.

Для определения мы воспользуемся прежним методом. Возьмем самое общее выражение для искривленной формы пластинки в виде двойного бесконечного ряда

Вопрос об устойчивости решим в зависимости от того, сопровождается принятое искривление (а) пластинки увеличением или уменьшением потенциальной энергии. При сравнении различных форм равновесия можно идти двумя путями. Можно предполагать, что при выпучивании пластинки усилия по контуру остаются неизменными и, следовательно, искривление сопровождается некоторым смещением точек контура, при котором внешние силы совершают известную работу. Таким методом мы пользовались при изучении устойчивости сжатых пластинок. Можно поступить иначе, а именно предположить, что точки контура не смещаются. В таком случае выпучивание пластинки будет сопровождаться изменением усилий, распределенных по контуру, и изменением соответствующей им потенциальной энергии системы.

И тем и другим путем мы придем к одному и тому же значению критических напряжений, но в первом случае критические напряжения найдутся из условия равенства энергии изгиба работе усилий, распределенных по контуру. Во втором случае работа внешних сил будет равна нулю, и критические напряжения найдутся из того условия, что изменение потенциальной энергии системы при перемещениях, соответствующих первой искривленной форме, должно равняться

нулю. Воспользуемся здесь вторым приемом и предположим, что выпучивание пластинки не сопровождается смещением точек контура. В таком случае искривление пластинки при выпучивании будет сопровождаться сдвигами в срединной плоскости и соответствующими изменениями энергии сдвига.

Величину сдвига в какой-либо точке О срединной плоскости легко находим из геометрических соображений (рис. 120). Пусть и два бесконечно малых линейных элемента длины После изгиба они займут по отношению к плоскости, параллельной плоскости контура, положения причем вертикальные перемещения и будут соответственно равны величинам

Рис. 120.

Легко видеть, что при взятых перемещениях угол меньше прямого. Перемещения и сопровождаются сдвигом, который равен, очевидно, уменьшению первоначально прямого угла Это уменьшение можно получить из рис. 120 таким образом. Сначала вращением площадки относительно оси совмещаем

Если теперь ту же площадку вращать относительно до совмещения с плоскостью то, очевидно, точка В пройдет по направлению перпендикулярному к и наклоненному к под углом Следовательно,

и уменьшение первоначально прямого угла, равное представится так:

Увеличение энергии сдвига вследствие выпучивания пластинки представится так:

Подставив сюда вместо его выражение (а) и приняв во внимание выражение

придем к такому результату:

Что касается энергии изгиба V, то для нее сохраняется прежнее выражение (231). Приравнивая нулю энергию изгиба, сложенную с найденным выше

выражением получаем для такое выражение:

Остается теперь подобрать для коэффициентов такие соотношения, которым соответствует наименьшее

Это наименьшее значение и будет искомое Приравнивая нулю производную от (с) по каждому из коэффициентов и принимая во внимание условие приходим к системе уравнений, линейных относительно Уравнения эти можно разбить на две группы. В одну из них войдут коэффициенты с четной суммой индексов, а в другую — с нечетной. Вычисления показывают, что наименьшее значение для дает первая группа уравнений. Пользуясь для сокращения обозначениями

можем написать эту систему бесконечно большого числа линейных дифференциальных уравнений в таком виде:

Величина найдется из условия равенства нулю определителя написанной системы уравнений. Вычисления будем вести путем последовательных приближений, как это мы делали в предыдущей задаче. Для первого приближения мы можем ограничиться двумя первыми строчками и двумя первыми столбцами написанной системы уравнений. Приравнивая нулю определитель

лученных двух уравнений с двумя неизвестными находим

Отсюда на основании обозначений (d) получаем для первого приближения

Формула эта в случае квадратной пластинки дает погрешность около 15%. С увеличением длины пластинки погрешность возрастает и для получения более удовлетворительных результатов нужно обратиться к следующему приближению.

Таблица 32 (см. скан)

Если мы при этом возьмем пять строк и пять столбцов нашей бесконечной системы уравнений, то, приравнивая нулю соответствующий определитель, получаем после некоторых сокращений такой результат:

Формула эта дает величину критических напряжений для пластинок, близких к квадратной, с большой точностью. Разность между вторым и третьим приближениями для квадрата получается лишь в четвертом знаке. При эта разность достигает 2%. Наконец, при она равна 9,5%. Эти данные позволяют заключить, что результаты третьего приближения имеют вполне достаточную для практических приложений точность. Окончательные результаты мы можем представить в такой форме:

Значения коэффициента к при приводим в табл. 32.

Мы видим, что с увеличением отношения коэффициент к убывает, потому что длинная пластинка имеет возможность подразделяться на волны той длины, которой соответствует меньшее Убывание к с увеличением все замедляется, к стремится к определенному пределу, соответствующему бесконечно длинной пластинке. Величину этого предельного значения к мы можем найти таким приближенным способом.

В случае весьма длинной пластинки влияние поперечных сторон ничтожно, и мы можем для приблизительной оценки величины критических напряжений задаться подходящей формой искривления так, чтобы отношении прогибов были удовлетворены условия лишь на продольных сторонах пластинки. Такую форму мы получим, положив

Этому выражению соответствует выпучивание пластинки по ряду волн длины причем узловые линии составляют с осью у угол, тангенс которого равен а. Подставляя это выражение для в наше условие получаем

Наименьшее значение для получим, если положим и тогда найдем

Результат этот довольно близок к тому, что мы нашли выше для случая

Имея значения коэффициента мы без затруднений можем подсчитать величину соответствующих критических напряжений. В табл. 32 значение дано для того случая, когда

Если для рассчитываемой пластинки то нужно числа в табл. 32 помножить на

Заметим, что способ, который мы здесь применили, может быть распространен на более общие случаи, например на случай совместного действия касательных усилий с равномерным сжатием вдоль одной из сторон пластинки или одновременного действия касательных усилий с чистым изгибом. Последняя задача могла бы представить некоторый практический интерес в связи с поверкой на устойчивость вертикальной стенки клепаной двутавровой балки. При большой высоте балки отношение толщины стенки к ее высоте на практике иногда получается очень малым и надлежащая устойчивость достигается путем дополнительных подкреплений стенки особыми уголками жесткости. Отдельные участки стенки двутавровой балки между двумя соседними уголками жесткости следует проверять на устойчивость как независимую прямоугольную пластинку с опертыми краями. У опор эта пластинка будет находиться главным образом под действием касательных усилий и для проверки ее на устойчивость можно воспользоваться табл. 32. У середины пролета главную роль играют нормальные напряжения от изгиба и при проверке на устойчивость можно воспользоваться табл. 31 предыдущего параграфа.