§ 58. Влияние начальных искривлений на изгиб пластинок

Предположим, что пластинка имеет некоторое начальное искривление и соответствующие этому искривлению прогибы малы по сравнению с толщиной пластинки. Если на эту пластинку будут действовать лишь нагрузки,

нормальные к плоскости контура, то вызываемые ими прогибы могут быть найдены из тех уравнений, которыми мы пользовались в случае идеально плоских пластинок. Иное заключение мы получим, если возьмем случай изгиба пластинки нормальными нагрузками и силами

Влияние сил будет для плоских и слегка искривленных пластинок не одинаково. Чтобы учесть влияние начального искривления на изгиб, вызываемый силами и обратимся к уравнению (226). В правую часть этого уравнения кроме нагрузки входят составляющие в направлении оси z от усилий Составляющие эти, очевидно, определяются полным искривлением пластинки, и потому, применяя уравнение (226) к искривленным пластинкам, нужно в правой части вместо поставить величину Что касается левой части уравнения (226), то она определяет деформации пластинки, вызванные внешними силами, и потому, применяя это уравнение к пластинкам с начальной кривизной, нужно в левой части поставить вместо величину Таким образом, получаем для пластинок с начальной кривизной уравнение

Мы видим, что пластинка с начальной кривизной будет искривляться под действием сил даже при отсутствии нормальной нагрузки

Применим уравнение (228) к такому простейшему примеру: прямоугольная пластинка с опертыми краями имеет начальное искривление, заданное выражением

Требуется найти прогибы этой пластинки под действием усилий равномерно распределенных по краям пластинки. Уравнение (228) перепишется в данном случае так:

Решение этого уравнения возьмем в такой форме:

Подставляя (а) и (с) в уравнение получаем для коэффициентов такое выражение:

Подставляя (229) в выражение (с) для прогиба получаем искомое решение задачи.

Возьмем начальное искривление по такой поверхности:

Тогда, введя обозначения

получим

При растяжении пластинки лишь в направлении оси х получим

С возрастанием растягивающих усилий величина приближается к а полный прогиб пластинки стремится к нулю.

Таким образом, изгиб слегка искривленной прямоугольной пластинки, опертой по контуру при равномерном распределении усилий не представляет никаких затруднений. Гораздо сложнее получается задача в том случае, когда распределение усилий неравномерно и в особенности когда эти усилия не заданы и являются следствием определенного перемещения какой-либо стороны. При этих условиях удается определить изгиб пластинки лишь приближенно путем введения упрощающих допущений.

Решим приближенным способом такую задачу. Прямоугольная пластинка (рис. с начальным искривлением

изгибается растягивающими усилиями распределенными равномерно вдоль длинных сторон пластинки и передающимися отчасти на упругие распорки и отчасти на пластинку. Закрепления краев пластинки по контуру устроены так, что все точки продольных сторон пластинки при действии усилий То совершают одно и то же перемещение. Следовательно, продольные стороны контура пластинки не гнутся и распределяют приходящиеся на них усилия То между распорками и пластинкой. Очевидно, чем большее начальное искривление имеет пластинка, тем меньшую часть усилия она примет на себя, тем больше передается на распорки. Ясно также, что при одинаковом смещении всех точек продольной стороны пластинки растягивающие усилия 74, приходящиеся на пластинку, распределятся вдоль этой стороны неравномерно. Наименьшее значение их при выбранной форме начального искривления получится по середине стороны. По мере приближения к вершинам пластинки усилия будут возрастать, и у вершин соответствующие им растягивающие напряжения в пластинке будут иметь такое же значение, как и в распорках. Допустим, что изгиб пластинки под действием этих усилий мало отличается от того, который вызовут равномерно распределенные усилия определяемые из формулы

Рис. 113.

В таком случае прогиб пластинки, на основании (е), напишется так:

где

Для какой-либо балки-полоски мы можем написать на основании таких же соображений, как и при цилиндрическом изгибе пластинки (см. § 47), следующее уравнение:

Умножая обе части этого уравнения на и интегрируя их в пределах от до 6, приходим к такому результату:

Из этого уравнения (1) пользуясь обозначением находим величину и величину т. е. среднее значение растягивающего усилия для пластинки. Отношение этого среднего усилия к величине — даст нам значение редукционного коэффициента для рассматриваемого случая. При одинаковых максимальных прогибах и одинаковых усилиях То величина его для пластинки с конечным отношением сторон будет больше, чем для весьма длинной прямоугольной пластинки.