§ 76. Расчет сферической оболочки с подвижно опертыми краями

Предположим, что опорным контуром симметрично загруженной сферической оболочки является один из параллельных кругов. Закрепления по этому контуру допускают свободное перемещение в радиальном направлении и свободное поворачивание опертого края оболочки относительно касательной к опорному контуру (рис. 143).

В этом случае, как мы уже упоминали, можно получить приближенное решение задачи, если пренебречь напряжениями изгиба и принять в расчет лишь напряжения, соответствующие усилиям Тогда уравнения (280) приведется к такой системе уравнений:

Исключая из этих уравнений получаем для определения такое дифференциальное уравнение:

Интегрируя полученное линейное дифференциальное уравнение первого порядка способом изменения произвольных постоянных, получаем

Рис. 143.

Отсюда легко находятся решения для различных частных случаев нагрузки. Возьмем, например, нагрузку собственным весом. Если через у обозначим вес единицы объема оболочки, то для рассматриваемого случая будем иметь Подставив эти выражения в общее решение (а), найдем

Произвольную постоянную С нужно подобрать так, чтобы в вершине оболочки при усилия оставались конечными. Этому условию мы удовлетворим, если положим Тогда будем иметь

В табл. 41 приведены значения скобок, входящих в выражения для при различных значениях угла .

Таблица 41 (см. скан)

В вершине оболочки усилия сжимающие и равны по величине С увеличением угла сжимающее усилие все возрастает. Усилие убывает по абсолютному значению и при 0, несколько большем 50°, переходит через нулевое значение, обращаясь в растягивающее усилие.

Если бы сферическая оболочка в вершине не была сомкнутой, а имела отверстие по параллельному кругу, соответствующему углу 90, то произвольную постоянную С в общем интеграле (а) нужно, было бы подобрать так, чтобы по внутреннему контуру, который мы будем считать свободным от усилий,

величина обращалась в нуль. Для этого нужно положить и мы сейчас же можем составить формулы для

Рассматривая полученные таким образом решения задачи как первое приближение, мы можем при помощи формул предыдущего параграфа получить дальнейшие приближения и учесть влияние напряжений изгиба на найденные нами приближенные значения Вычисление дальнейших приближений ведется в таком порядке. Сначала, пользуясь найденными выше приближенными значениями вычисляем при помощи известных формул

соответствующие значения перемещений Подставляя эти величины в формулы (283) и (284), находим и при помощи которых находим первое приближение для изгибающих моментов Для получения дальнейших приближений поступаем так: найденные значения подставляем в третье уравнение (280) и находим перерезывающую силу Тогда первое и второе уравнения той же системы дадут возможность найти второе приближение для усилий при помощи которых можно получать дальнейшие приближения, повторяя расчеты в прежнем порядке. Применим это к рассмотренному выше случаю действия на сферическую оболочку собственного веса. Формулы (b) перепишутся при этом так:

и мы из них легко находим выражения для

Для получения перемещений обратимся к формулам (281) и (282). При помощи этих формул находим

Интегрируя это уравнение, получаем

Тогда на основании (282)

Подставляя эти результаты в формулы (283) и (284), получаем для изменений кривизны такие значения:

Подставляя это в известные формулы для моментов [см. формулу (а) § 75], получаем

Напряжения от изгиба для точек наружной и внутренней поверхности оболочки по абсолютному значению будут

Отношение этих напряжений к напряжениям от сжимающих усилий представится так:

Это отношение достигает наибольшего значения в вершине оболочки, где оно равно

Мы видим, что при малых толщинах оболочки напряжения изгиба при действии собственного веса будут малы по сравнению с напряжениями, соответствующими усилиям

Если бы мы для рассматриваемого случая пожелали вычислить дальнейшие приближения, то, поступая, как было указано выше, мы нашли бы для усилий значения, отличающиеся от первого приближения членами порядка

Следовательно, при расчете подвижно опертой сферической оболочки, находящейся под действием собственного веса, можно пренебрегать изгибом оболочки и принимать в расчет лишь усилия Этим соображением можно воспользоваться при расчете купольных сводов. При малых толщинах свода мы можем получить для точек, удаленных от опорного контура, достаточно точные выражения для напряжений, пренебрегая напряжениями изгиба. Напряжения у опорного контура могут быть получены лишь путем решения уравнений (280). К этому решению мы теперь и переходим.