§ 43. Сжатие кругового диска и кругового кольца двумя взаимно противоположными силами

Рассмотрим предварительно распределение напряжений в неограниченной пластинке при действии сосредоточенной силы. К решению этой задачи мы придем, складывая две пластинки, ограниченные прямолинейными краями и и нагруженные силами (рис. 52). Использовав решение (72), найдем, что по краям пластинок и А В нет никаких напряжений. Каждая пара соответствующих точек будет совершать только вертикальное перемещение, одинаковое для обоих точек, поэтому обе пластинки после деформации можно сложить. Получим одну неограниченную пластинку, к которой приложена сила

Рис. 52.

Рис. 53.

Теперь рассмотрим случай, когда к пластинке неограниченных размеров в точках В приложены две прямо противоположные силы, равные (рис. 53). Выше мы показали, что при определении напряжений, вызываемых каждой силой в отдельности, можно пользоваться решением (72). При определении напряжений в какой-либо точке нужно будет суммировать действия радиального сжатия соответствующего силе, сосредоточенной в и радиального сжатия от силы приложенной в точке В.

Особенно просто это суммирование выполняется для точек, лежащих на окружности, описанной на как на диаметре. Для этих точек направления будут взаимно перпендикулярны и соответствующие им напряжения будут, следовательно, главными напряжениями. Кроме того, для тех же точек будем иметь где а — расстояние между точками

Следовательно, при действии на неограниченную пластинку двух взаимно противоположных сжимающих сил приложенных в во всех точках окружности, построенной на как на диаметре, возникает равномерное сжатие, и соответствующее сжимающее напряжение равно Если по этому кругу произвести разрез, то получим распределение напряжений в круговом диске, сжатом двумя взаимно противоположными сосредоточенными силами и нормальными давлениями равномерно распределенными по контуру. Присоединив к радиальным распределениям напряжений равномерное растягивающее напряжение величины , получим решение задачи,

представленной на рис. 54 Примерно в таких условиях находится элемент цилиндрического катка мостовой опоры, вырезанный двумя плоскостями, перпендикулярными к оси цилиндра. Давления, передаваемые на каток, предполагаются равномерно распределенными вдоль образующих цилиндра. При этом условии деформацию вдали от концов катка можно считать плоской.

Вычислим величину напряжений по какой-либо площадке лежащей в плоскости диаметрального сечения на расстоянии х от оси катка. По симметрии заключаем, что касательные напряжения по этой площадке отсутствуют. Нормальные напряжения получим, суммируя действия двух радиальных сжимающих напряжений с равномерным растяжением. Принимая во внимание, что в точках диаметрального сечения для площадки окончательно получим

У концов диаметра напряжения эти обращаются в нуль. В центре они достигают своего наибольшего значения — т. е. равны примерно двойному среднему значению, получаемому делением силы на площадь диаметрального сечения

Рис. 54.

Вопрос о распределении напряжений у точек в случае, когда силы являются результатом надавливания одного тела на другое, мы рассмотрим ниже в связи с задачей о сжатии упругих тел. Возвратимся теперь к распределению напряжений в неограниченной пластинке, представленной на рис. 53, и рассмотрим напряжения в точке лежащей на круге Возьмем в этой точке площадку нормальную к плоскости пластинки и касательную к кругу Углы, составляемые этой площадкой с направлениями радиусов определятся как углы между касательной и хордами круга и будут равны, как легко видеть из рисунка, углам . Следовательно, нормаль к площадке (диаметр круга будет составлять с радиусами углы Нормальные и касательные напряжения по обусловленные радиальными сжатиями по представляются такими формулами:

Эти формулы сразу упрощаются, если принять во внимание, что из прямоугольных треугольников и имеем Здесь через обозначен диаметр круга Вставляя это в формулы (а), находим

т. е. по площадкам, касательным к кругу будут действовать лишь нормальные напряжения (b), постоянные по всей окружности. Если на принятое

нами радиальное распределение напряжений наложим равномерное растягивающее напряжение то мы освободим окружность круга от нормальных давлений и получим распределение напряжений в диске диаметра сжатом двумя равными и прямо противоположными силами приложенными по концам хорды АВ.

Легко получается также распределение напряжений при действии на окружность диска целого ряда взаимно уравновешивающихся сосредоточенных сил. Рассмотрим одну из этих сил, действующую в направлении хорды АВ (рис. 55). Исходим из радиального распределения напряжений у точки 4, тогда в точке С по площадке на окружности диска получим радиальное сжимающее напряжение. Относя все к координатам будем иметь для этой точки

Рис. 55.

Перейдем к координатам , имеющим свое начало в центре диска Тогда для той же точки С окружности диска будем иметь

Здесь принято во внимание, что радиус составляет с направлением угол, равный 90° — Вводя обозначение для диаметра диска и принимая во внимание, что можем представить формулы (с) в таком виде:

Таким образом, при принятом радиальном распределении по поверхности диска появляются следующие три рода напряжений:

1. Сжимающие напряжения, равномерно распределенные по окружности диска

2. Равномерно распределенные по окружности диска касательные напряжения

3. Напряжение действующее на каждую площадку на окружности диска и имеющее направление, противоположное направлению силы

Принимая во внимание, что угол между направлением силы и площадки равен легко убедиться, что это последнее напряжение даст нам составляющие

Теперь представим себе, что на диск действует система взаимно уравновешивающихся сил. Принимая для каждой силы соответствующее радиальное

распределение, получим для площадки напряжение, состоящее из таких частей:

1) нормального сжатия

2) касательного напряжения

3) напряжения, представленного геометрической суммой напряжений вида (3).

Заметим, что напряжения 1 и 2 в случае системы взаимно уравновешивающихся сил равны нулю. В самом деле, напряжение 2 пропорционально а эта сумма представляет собой не что иное как момент всех сил относительно точки О и обращается в нуль. Точно так же напряжение 3 пропорционально геометрической сумме всех приложенных к диску сил и тоже обращается в нуль, так как эти силы находятся в равновесии.

Рис. 56.

Мы видим, таким образом, что, наложив на напряжения вида (с) (см. стр. 115) равномерное растягивающее напряжение получим решение задачи для случая диска, подвергающегося действию системы взаимно уравновешивающихся сосредоточенных сил 1.

Пользуясь решением для сплошного диска, можно найти распределение напряжений в круговом кольце, подвергающемся действию сосредоточенных сил, приложенных по наружному контуру. Возьмем, например, случай кругового кольца, сжимаемого двумя взаимно противоположными силами (рис. 56).

Рис. 57.

Исходя из решения для сплошного диска радиуса легко находим нормальные и касательные напряжения по площадкам, нормальным к плоскости диска и касательным к кругу радиуса а. Теперь представим себе, что по этому кругу произведен разрез. Распределим по контуру полученного таким образом отверстия нормальные и касательные усилия, равные и прямо противоположные только что найденным, и определим при помощи общего решения (69) соответствующие напряжения в кольце. Суммируя эти напряжения с напряжениями для сплошного диска, получаем решение поставленной задачи.

На рис. 57 заштрихованной площадью представлено распределение нормальных напряжений по поперечному сечению кольца, перпендикулярному

к линии действия сил Вычисление напряжений произведено для того случая, когда Для сравнения на рисунке прямой линией и пунктирной гиперболической кривой представлены распределения тех же напряжений, получаемые элементарным путем на основании общепринятых двух гипотез. Опять мы имеем возможность убедиться, что гипотеза плоских сечений дает результаты, весьма близкие к точному решению задачи.