§ 57. Изгиб пластинки при одновременном действии нормальной нагрузки и усилий в срединной плоскости

При составлении основного дифференциального уравнения (206) для искривленной поверхности пластинки мы пренебрегали действием усилий на изгиб пластинки, поэтому решения, полученные нами ранее для различных частных случаев изгиба пластинок, будут справедливы лишь в том случае, если края пластинки при изгибе могут свободно смещаться в плоскости контура и если по краям не приложены нормальные и касательные усилия лежащие в срединной плоскости пластинки. При этих условиях малые прогибы пластинки не будут сопровождаться деформациями в срединной плоскости и уравнение (206) с достаточной для практики точностью определит искривленную поверхность пластинки. Если закрепления препятствуют свободному смещению краев пластинки в плоскости контура или по краям приложены усилия изгиб пластинки сопровождается деформациями срединной плоскости. Когда соответствующие этим деформациям напряжения малы, мы можем их непосредственно прибавить к напряжениям изгиба, полученным на основании решения уравнения (206). В противном случае необходимо оценить влияние этих напряжений на изгиб пластинки. Соответствующее дифференциальное уравнение для изогнутой поверхности пластинки можно получить путем

следующих элементарных соображений. Пусть линия (рис. 109) представляет собой сечение срединной поверхности изогнутой пластинки плоскостью, параллельной и бесконечно малый элемент, вырезанный из пластинки. Легко найти из геометрических соображений, что усилия приложенные по двум противоположным сторонам элемента, дадут в направлении оси z составляющую

Рис. 109.

Подобным же образом найдем, что усилия действующие по двум другим сторонам элемента, дадут в направлении оси составляющую

Что касается тангенциальных усилий то, как видно из рис. 110, они дают в направлении оси z составляющую

Составляющие (а), (b) и (с) должны быть присоединены к нагрузке расположенной на выделенном элементе пластинки, при составлении уравнений равновесия этого элемента. Следовательно, прогиб пластинки при действии нормальной нагрузки и усилий будет такой же, как прогиб пластинки под действием одной только нормальной нагрузки, имеющей интенсивность

Рис. 110.

Рис. 111.

В таком случае нужное нам дифференциальное уравнение для искривленной поверхности пластинки напишется так:

Этим уравнением приходится пользоваться в тех случаях, когда нужно оценить влияние усилий на прогиб пластинки. Наиболее просто эта задача решается, когда постоянны по срединной плоскости пластинки. Возьмем, например, случай прямоугольной пластинки с опертыми краями,

изгибаемой равномерной нагрузкой и растягиваемой усилиями и (рис. 111), тогда

Условия на контуре удовлетворяются, если положить

Подставляя это выражение в уравнение (d) и применяя для определения коэффициентов обычный прием, находим (при нечетных)

Следовательно,

Имея это выражение для прогиба, можем составить без всяких затруднений формулы для изгибающих моментов и для соответствующих напряжений. Решение (227) при совпадает с решением (221), полученным для прямоугольной пластинки, изгибаемой только нормальной нагрузкой. Сравнивая (227) и (221), заключаем, что растягивающие усилия уменьшают прогиб пластинки от нагрузки Сжимающие усилия будут оказывать противоположное действие.

Рассмотрим крайний случай весьма длинной прямоугольной пластинки. Нолоясим тогда малая дробь и выражение (227) может быть переписано таким образом:

Полагая принимая во внимание, что находим для прогиба полоски, параллельной оси х, такое выражение:

где

Результат этот совершенно точно совпадает с тем, что получается для изогнутой оси балки с опертыми концами, изгибаемой равномерной нагрузкой и растягиваемой силами, приложенными по концам [см. формулу (67)]. Величина очевидно, будет соответствовать жесткости балки.

Если взять растяжение пластинки лишь в направлении оси х, то выражение для прогиба напишется

С увеличением растягивающих усилий растет в знаменателе значение члена, не зависящего от размера и мы можем отсюда заключить, что при больших растягивающих усилиях роль поперечных сторон контура пластинки ничтожна и условия изгиба приближаются к тем, которые мы имеем при искривлении пластинки по цилиндрической поверхности.

Например, для пластинки, у которой при нагрузке и растягивающих усилиях мы легко найдем, что прогиб и величина наибольших напряжений отличаются от соответствующих величин, вычисленных для весьма длинной прямоугольной пластинки, на 6 и 3%. При отсутствии растягивающих сил соответствующие разности, как видно из табл. 26, составят 22 и 18,5%. Такое уменьшение влияния поперечных сторон контура на обстоятельства изгиба пластинки при увеличении растягивающих усилий дает основание во многих случаях пользоваться с достаточной для практики точностью формулами, полученными ранее при исследовании изгиба пластинок по цилиндрической поверхности.

Влияние растягивающих и сжимающих усилий на изгиб прямоугольной пластинки с заделанными краями может быть учтено путем применения метода В. Ритца

Без особых затруднений может быть также разрешена задача об изгибе круглой пластинки, изгибаемой равномерной нагрузкой и испытывающей, кроме того, равномерное растяжение в срединной плоскости.

В рассмотренных случаях мы все время предполагали, что усилия постоянны по поверхности пластинки. Задача становится сложнее, когда эти усилия представляются заданными функциями координат х и у. Тогда приходится решать дифференциальное уравнение (226) с переменными к оэффициентами.

Еще сложнее становится вопрос в тех случаях, когда усилия, растягивающие срединную поверхность пластинки, не заданы и являются следствием закреплений пластинки по контуру, препятствующих смещению краев пластинки при изгибе. Подобный случай часто встречается на практике, и мы здесь приведем некоторые соображения, которыми можно воспользоваться для приближенного расчета прямоугольной пластинки с опертыми краями. Если края пластинки не могут свободно сближаться, то при изгибе возникнут усилия распределение которых по сторонам будет неравномерным. Положим тогда на обстоятельства изгиба преобладающее влияние будут оказывать усилия 74, возникающие вдоль длинных сторон контура. Наибольшего значения эти усилия достигнут в серединах этих сторон, так как средняя балка-полоска (рис. 112) получает наибольший прогиб. Если края пластинки не смещаются вовсе, то вычисление может быть произведено по тем формулам, которые были получены ранее для весьма длинной прямоугольной пластинки (см. § 46). Погрешность получаемого таким образом результата будет убывать с возрастанием отношения Когда

сближению краев пластинки препятствуют упругие распоры, расчет приходится начинать с определения величины коэффициента распора. Для весьма длинной прямоугольной пластинки (см. § 46) этот коэффициент определяется отношением

где толщина пластинки и приведенная толщина распора.

При конечном значении отношения нужно принять во внимание, что усилия убывают в направлении от середины длинной стороны контура к концам и, следовательно, общее сжимающее усилие, которое передается на распоры, будет меньшим, чем то, которое получается в предположении изгиба пластинки по цилиндрической поверхности. Вследствие этого уменьшается сжатие распор, и коэффициент распора при конечном значении отношения будет больше величины К, определенной по формуле Это увеличение коэффициента распора оценим таким приближенным способом. Допустим, что распределение растягивающих усилий одинаково для всех сечений пластинки плоскостями, параллельными тогда для какой-либо балки-полоски, параллельной х, можем написать уравнение

Рис. 112.

Здесь площадь поперечного сечения распоров, мешающих сближению продольных сторон пластинки, и сжимающее усилие, приходящееся на эти распоры, о

Умножая (f) на и интегрируя от до получаем

Задаваясь каким-либо приближенным выражением для прогиба, мы найдем из уравнения (g) величину усилия сжимающего распоры. Для пластинки, близкой к квадратной можно положить

Подставляя (h) в уравнение (g), находим

Подставляя в уравнение (f) и применяя его к средней балке-полоске получаем

или

Следовательно, при расчете средней балки-полоски, для которой напряжения получаются наибольшими, нужно коэффициент распора принять равным

При длинных пластинках изгиб средней их части будет близок к цилиндрическому и потому формула (1) даст для коэффициента распора несколько преувеличенное значение. Мы получим в этом случае результат, более близкий к действительности, если примем для точек пластинки, отстоящих от поперечных сторон ближе чем на расстояние 0,5 а, искривление по поверхности

Для средней же части пластинки примем изгиб по цилиндрической поверхности

Тогда на основании уравнений получаем

При формулы (1) и дают для одно и то же значение.

Таким образом, для приближенной оценки влияния усилий при изгибе прямоугольной пластинки с опертыми краями и с конечным значением отношения можно пользоваться формулами, полученными ранее для цилиндрического изгиба. Нужно только несколько повысить коэффициент распора, для чего можно применить формулу или Заключение это остается в силе и в том случае, когда к пластинке и распорам извне приложены растягивающие усилия Вместо уравнения (f) получим в таком случае

Задаваясь для прогиба выражением получаем из (f) прежним способом следующее уравнение:

из которого найдется величина Подставляя ее значение в уравнение (f) и применяя это уравнение к средней балке-полоске, получаем

Сравнивая это выражение с уравнением

заключаем, что они отличаются одно от другого лишь величиной коэффициента распора. Вместо величины имеем