§ 54. Изгиб прямоугольной пластинки с опертыми краями

Пусть длины сторон прямоугольной пластинки (рис. 102). Поместим начало координат в одной из вершин прямоугольного контура и направим оси по сторонам пластинки. Интенсивность сплошной изгибающей нагрузки в общем случае будет переменной, и мы ее определим некоторой функцией Тогда дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластинки напишется так:

Так как края пластинки оперты, то на контуре прогиб и изгибающие моменты должны равняться нулю. Следовательно, при

Мы удовлетворим всем условиям на контуре пластинки, если возьмем для прогиба пластинки выражение

где — целые числа. Подставив выражение (b) в левую часть уравнения (а), получим выражение

и уравнение будет удовлетворено лишь в том случае, если интенсивность изгибающей нагрузки в каждой точке пропорциональна принятому прогибу Чтобы получить решение для любого распределения сплошной нагрузки, воспользуемся тем обстоятельством, что любую форму искривленной поверхности нашей пластинки можно представить в виде двойного бесконечного ряда, члены которого будут иметь вид В таком случае можно положить

Рис. 102.

Подставляя это выражение в уравнение (а), находим, что коэффициенты ряда (с) должны быть подобраны так, чтобы было выполнено условие

Для определения этих коэффициентов воспользуемся известным приемом. Помножим обе части равенства (d) на и потом проинтегрируем в пределах от до Принимая во внимание, что

перепишем равенство (d) таким образом:

В левой части суммирование выполняется по число остается постоянным и равным Чтобы привести полученный ряд к одному члену, помножим обе части равенства (d) на и проинтегрируем в пределах от до а.

При этом пропадут все члены ряда, кроме того, для которого мы

в заключение получим

Если закон распределения изгибающей нагрузки задан, мы вставляем соответствующую функцию в равенство выполняя интегрирование, получаем иекомое значение коэффициента Например, в случае равномерной нагрузки интенсивности будем иметь

Уравнение дает нам

при тип нечетных,

при четных. Подставляя найденные выражения для в общую формулу (с) получаем для прогиба пластинки под действием равномерной нагрузки такое выражение:

Если пластинка изгибается сосредоточенной силой приложенной в точке то функция равна нулю по всей поверхности пластинки, кроме точки приложения силы, и мы найдем из

В этом случае получаем для прогиба выражение

Подобным же образом легко может быть получено выражение для при всякой другой нагрузке.

Остановимся теперь подробнее на случае действия равномерно распределенной нагрузки, с которым часто приходится встречаться при технических расчетах.

Имея общее выражение (221) для прогиба и полагая в нем получаем значение стрелки прогиба в центре пластинки

Подставляя вместо его выражение и вычисляя значение двойной суммы при заданном соотношении между сторонами пластинки, можем представить максимальный прогиб так:

Ряд значений коэффициента а приводим в табл. 26 Из нее видно, что с увеличением отношения величина прогиба прямоугольной пластинки быстро приближается к прогибу пластинки, изгибаемой по цилиндрической поверхности (этот изгиб будем иметь при При разность в прогибах составляет примерно 6,5% прогиба пластинки. При эта разность меньше 0,5%.

Для изгибающих моментов на основании (198) будем иметь

Здесь через обозначено отношение

На основании полученных выражений заключаем, что для двух пластинок с одинаковым отношением сторон напряжения в соответствующих точках будут одинаковы, если только равны полные нагрузки, лежащие на пластинках. В силу симметрии заключаем, что наибольшие напряжения имеют место

в центре пластинки. Полагая находим

Значения коэффициентов и при разных соотношениях между сторонами приведены в табл. 26. С увеличением длины пластинки значение максимального изгибающего момента приближается к величине, соответствующей изгибу пластинки по цилиндрической поверхности. Если при расчет пластинки заменить расчетом балки-полоски длины а, то в величине максимального момента получим погрешность, составляющую около 5%.

Рис. 103.

Рис. 104.

При погрешность эта составит лишь

Для определения перерезывающих сил воспользуемся формулами (207)

Подставив в эти формулы вместо его значение и произведя соответствующие вычисления, убедимся, что наибольшие значения перерезывающих сил имеют место в средних точках сторон пластинки. Эти максимальные значения могут быть представлены в таком виде:

значения коэффициентов приведены в табл. 26.

Для получения давлений, передаваемых пластинкой на контур, нужно к присоединить еще дополнительные усилия и (см. § 51), обусловленные скручивающим моментом Давления в средних точках сторон контура пластинки представятся так:

Коэффициенты вычисленные для различных значений приведены в табл. 26. Кроме того, на рис. 103 представлено изменение полных давлений и давлений, соответствующих скручивающим моментам вдоль стороны квадратной пластинки. На рис. 104 представлено изменение вдоль контура перерезывающих сил для пластинки с отношением сторон Вычисления показывают, что опорные реакции, соответствующие уравновешивают нагрузку, лежащую на пластинке. Дополнительные реакции от скручивающих моментов уравновешивают сосредоточенные реактивные силы действующие в вершинах пластинки.

Полное давление, соответствующее перерезывающим силам и передающееся на короткую сторону пластинки, медленнно возрастает с увеличением длинной стороны и в предельном случае превосходит то давление, которое мы имеем для квадратной пластинки (т. е. величину примерно на 8,5%.

Таблица 26 (см. скан)

Полное давление на ту же сторону контура от скручивающих пар составляет в случае квадратной пластинки 26% и в случае весьма длинной пластинки 35% того давления, которое обусловлено усилиями

На длинных сторонах контура давление, соответствующее скручивающим парам играет меньшую роль. Его значение убывает с возрастанием длины пластинки, и, например, при оно составляет лишь около 8% давления, обусловленного силами Из рис. 104 видно, что при давление в средней части длинных сторон контура остается почти постоянным и близким к давлению, соответствующему бесконечно длинной пластинке.

Реактивные силы сосредоточенные в вершинах пластинки, определятся из формулы

Подставляя сюда вместо выражение (221), получаем для значения, приведенные в последней строке табл. 26.

Решение Навье можно применить при исследовании колебаний прямоугольной пластинки. Чтобы получить соответствующее дифференциальное уравнение, нужно в правую часть уравнения (а) вместо изгибающей нагрузки подставить силы инерции. Если через мы обозначим вес пластинки, приходящийся на единицу поверхности, то уравнение для колебаний напишется так:

Мы удовлетворим условиям на контуре пластинки, если положим

Подставляя это выражение для прогиба в уравнение (е), получаем для частоты выбранного типа колебаний значение

Исследование собственных и вынужденных колебаний пластинок может быть выполнено в рассматриваемом случае так же, как это было сделано при рассмотрении колебаний балок с опертыми концами.