Глава VI. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

§ 29. Плоская деформация

Деформацию тела называют плоской, если перемещения всех его точек параллельны одной и той же плоскости (плоскости деформации) и зависят лишь от координат точки в этой плоскости.

Примем плоскость ху за плоскость деформации. Тогда перемещения будут функциями х и у, а перемещение равно нулю. Не усложняя дальнейших выводов, можно на плоскую деформацию наложить равномерное растяжение в направлении оси z. В таком случае перемещение представится линейной функцией z.

Многие весьма важные технические задачи с большей или меньшей точностью могут быть приведены к случаю плоской деформации. Всякий раз, когда мы имеем дело с длинным цилиндрическим или призматическим телом, подвергающимся действию сил, не меняющихся в направлении длины тела и нормальных к этому направлению, можно считать, что в местах, удаленных от концов цилиндра, все элементы, на которые мы можем подразделить тело системой поперечных сечений, перпендикулярных к длине цилиндра, испытывают одну и ту же деформацию. Перемещение какой-либо точки определяется ее координатами в плоскости соответствующего поперечного сечения и не зависит от положения этого сечения по длине цилиндра. Заключение это, приводящее задачу к случаю плоской деформации, очевидно, будет тем точнее, чем дальше рассматриваемое сечение от концов цилиндра.

К такого рода задачам можно отнести, например, расчет цилиндрических трубок, подвергающихся действию равномерного внутреннего или наружного давления. Для всякого удаленного от концов трубки элементарного кольца, выделенного двумя плоскостями, перпендикулярными к оси трубки, деформации будут приблизительно одни и те же, и можно ограничиться рассмотрением одного элементарного кольца. То же можно сказать относительно деформации цилиндрического катка, сжатого между двумя плоскостями силами, равномерно распределенными по длине образующей цилиндра (рис. 11). Примерно в таких условиях находятся катки мостовых опор.

При расчете подпорной стенки (рис. 12), имеющей большую длину в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа, также можно ограничиться рассмотрением одного элемента, выделенного из стенки двумя сечениями, перпендикулярными к направлению длины стенки. Точно так же можно привести к плоской задаче расчет цилиндрического свода, если длина его в направлении образующей велика по сравнению с пролетом и нагрузка в направлении образующей не изменяется.

Выясним те упрощения, которые получаются в общей задаче теории упругости в случае плоской деформации. При сделанных предположениях относительно перемещений заключаем:

Если на плоскую деформацию наложить равномерное растяжение в направлении оси то для получим постоянную величину. Для составляющих напряжения на основании (а) заключаем, что

Рис. 11.

Рис. 12.

Следовательно, ось z будет одной из главных осей. Соответствующее ей главное напряжение не равно нулю и может быть выражено через составляющие Действительно, на основании зависимостей (28) между напряжениями и деформациями имеем

Складывая первое и второе уравнения, находим выражение для объемного расширения;

Следовательно,

Таким образом, задача теории упругости в случае плоской деформации сводится к разысканию трех составляющих:

Дифференциальные уравнения равновесия (14) в случае плоской деформации получают вид

Третье уравнение равновесия отпадает, так как по предположению составляющая объемных сил равна нулю, а составляющая напряжения зависит только от .

На практике обыкновенно приходится иметь дело с силой тяжести, поэтому в дальнейшем ограничимся лишь этим случаем и, направляя ось у вертикально вниз, перепишем уравнения (52) в таком виде:

Очевидно, эти уравнения будут удовлетворены, если положим

Здесь произвольная пока функция х и у.

Задаваясь различными выражениями для будем получать на основании (54) значения напряжений, удовлетворяющие уравнениям (53). Чтобы из всех этих возможных с точки зрения статики распределений напряжений выбрать систему напряжений, возможную в упругом теле, нужно для функции подыскать такое выражение, при котором были бы удовлетворены дифференциальные зависимости (40). Подставляя в эти зависимости вместо составляющих напряжения их выражения через и принимая во внимание, что находим, что функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению четвертого порядка:

К такому же результату мы пришли бы, если бы вместо дифференциальных зависимостей (40) между составляющими напряжения взяли зависимости (23) и (24) между составляющими деформации. В случае плоской деформации нужно удовлетворить только уравнению

поскольку остальные уравнения тождественно удовлетворены. Подставляя вместо составляющих деформации их выражения через напряжения и пользуясь формулами (54), приходим к уравнению (55).

Таким образом, в случае плоской деформации задача теории упругости сводится к нахождению одной функции которую условимся в дальнейшем называть функцией напряжений.

Эта функция должна быть выбрана таким образом, чтобы в каждой точке тела было удовлетворено уравнение (55) и, кроме того, были выполнены условия на поверхности тела. Если заданы действующие по поверхности силы, то условия эти представятся в таком виде:

Если на плоскую деформацию налагается равномерное растяжение в направлении оси z, причем то выражения для составляющих напряжения не изменяются, а выражение для составляющей представляется в таком виде: