§ 6. Расчет перекрестных балок

Результатами последних двух параграфов воспользуемся при расчете перекрестных балок, с которыми приходится встречаться в строительной механике корабля и в некоторых гидротехнических сооружениях. Предположим, что требуется рассчитать плоское перекрытие с прямоугольным контуром, состоящее из пластины и подкрепляющих балок. Нагрузка, воспринимаемая пластидой, передается системе равноудаленных балок, которые в дальнейшем будем называть балками главного направления. Эти балки поддерживаются опертой по концам перекрестной балкой (рис. 8). Предположим, что все балки главного направления одинаково нагружены, оперты по концам и имеют одинаковое поперечное сечение. Возьмем одну из зтих балок. Пусть обозначает приходящуюся на эту балку сплошную нагрузку, передающуюся от пластины, и реакцию, оказываемую на рассматриваемую балку перекрестной балкой А В, Прогиб нашей балки в месте соприкасания ее с перекрестной балкой может быть представлен такой формулой:

где постоянные коэффициенты, определяемые размерами балок главного направления, законом распределения нагрузки и местом расположения перекрестной балки. Если распределено равномерно или по закону трапеции и перекрестная балка делит пополам балки главного направления, то будем иметь

Рис. 8.

Здесь через обозначен пролет и через жесткость балок главного направления. Соответствующие величины для перекрестной балки обозначим через

Перекрестная балка изгибается давлениями приложенными в местах пересечения ее с балками главного направления. Давления эти на основании (а) могут быть представлены так:

Они имеют наименьшее значение в местах наибольшего прогиба перекрестной балки, т. е. у середины пролета А В, и достигают наибольшей величины у концов перекрестной балки, где прогибы малы. Вычисление давлений связанное с определением прогибов, мы выполним

следующим приближенным приемом дающим достаточно точные результаты при большом числе балок главного направления 2.

Заменим каждое сосредоточенное давление сплошной нагрузкой, равномерно распределенной на протяжении а, равном расстоянию между балками главного направления. Интенсивность этой нагрузки на каждом участке определится делением соответствующего значения на длину а.

Таким образом, мы от изгиба сосредоточенными силами перейдем к изгибу сплошной нагрузкой, распределение которой вдоль перекрестной балки определяется ступенчатой линией (рис. 9). При большом числе балок главного направления мы можем заменить ступенчатую линию плавной кривой и таким образом свести расчет перекрестной балки к исследованию изгиба балки, нагруженной сплошной нагрузкой, изменяющейся по такому закону:

Здесь для сокращения записи введены обозначения

Рис. 9.

Дифференциальное уравнение изогнутой оси перекрестной балки записывается так:

т. е. оно совершенно совпадает с уравнением для балки с опертыми концами, лежащей на сплошном упругом основании и изгибаемой равномерной нагрузкой. Поэтому для дальнейших вычислений можем воспользоваться результатами, полученными в § 4. Наибольший изгибающий момент имеет место по середине пролета и определяется на основании формулы (17) так:

где

Определив и, мы легко найдем величину расчетного изгибающего момента при помощи табл. 1.

Вычислим теперь наибольшее и наименьшее значения давлений Наибольшее давление будет соответствовать крайним балкам главного направления. Пренебрегая здесь прогибом перекрестной балки, на основании (b) находим

Наименьшее давление получим для средней балки главного направления, где прогиб перекрестной балки (15) будет

Вставляя это значение прогиба в формулу (b) и принимая во внимание, что в рассматриваемом случае находим

При малых значениях и, т. е. когда балка главного направления весьма гибка по сравнению с перекрестной балкой, функция близка к единице и, следовательно, близко к Все балки главного направления будут примерно в таких условиях, как неразрезная балка на трех абсолютно жестких опорах. С возрастанием и функция убывает и обращается в нуль при При этом значении и средняя балка главного направления

совершенно не поддерживается перекрестной балкой и работает как балка, лежащая на двух опорах. При дальнейшем возрастании и, функция делается отрицательной. Перекрестная балка в таком случае становится вредной, так как она не только не поддерживает средних балок главного направления, а, наоборот, увеличивает их прогиб.

Определив давления мы без затруднений можем рассчитать балки главного направления. Если нагрузка распределена равномерно или по трапеции, то можно ограничиться проверкой прочности крайней и средней балок главного направления, которым соответствует и

Рассмотрим теперь случай, когда концы перекрестной балки не могут свободно поворачиваться. При этом условии на перекрестную балку кроме нагрузки, представленной на рис. 9, будут действовать по концам моменты и Величины этих моментов, в случае упругой заделки концов балки, легко находятся при помощи формул (16) и (19). Если перекрестная балка неразрезная, то опорные моменты находятся путем решения уравнений (22). Во всяком случае моменты легко определить, пользуясь табл. 1. В дальнейшем нам понадобится полусумма этих моментов, и мы для сокращения записи введем обозначение где опорный момент для балки с абсолютно заделанными концами, определяемый формулой (21).

При проверке на прочность перекрестной балки нужно сравнить опорные моменты имеющим место вблизи середины пролета. Наибольший из этих трех моментов и нужно положить в основу дальнейших расчетов. Хотя при неравных моментах величина Мтах не совпадает с серединой пролета, но мы можем с достаточной для практики точностью заменить максимальный момент моментом посередине пролета. Тогда на основании формул (17) и (20) получим

Принимая во внимание равенства и вставляя вместо их значения, получаем

Прибавляя и вычитая в скобках величину и пользуясь обозначениями

получаем

Вычисление по этой формуле, при пользовании табл. 1, не представляет никаких затруднений. Что касается давлений то наибольшее из них будет соответствовать крайним балкам главного направления и определится по формуле получится в месте наибольшего прогиба перекрестной балки. Мы можем с достаточной для практики точностью положить, что наибольший прогиб равен прогибу посередине В таком случае на основании формул (15) и (18) будем иметь

Вставляя это выражение в формулу (b) и принимая во внимание равенство находим

Вставляя вместо их значения и принимая во внимание равенство

находим

Приоавляя и вычитая в скобках величину к и пользуясь обозначениями

получаем

Определив таким путем значения Ятах и мы можем рассчитать балки главного направления. Заметим, что с возрастанием и убывает значение Когда и достигает значения, при котором имеет место равенство величина обращается в нуль, и перекрестная балка перестает поддерживать среднюю балку главного направления. Приведенные формулы вполне решают вопрос о расчете систем с одной перекрестной балкой. В случае нескольких перекрестных балок намеченный здесь прием расчета приводит задачу к решению системы совокупных дифференциальных уравнений четвертого порядка. Хотя при решении этих уравнений и не встречается каких-либо принципиальных затруднений, но все же оно требует довольно большого количества выкладок, и потому мы в дальнейшем дадим другой прием решения задачи.