Глава III. ОБ УСТОЙЧИВЫХ И НЕУСТОЙЧИВЫХ ФОРМАХ РАВНОВЕСИЯ СТЕРЖНЕЙ

§ 20. Методы решения вопросов устойчивости

Решение задач, относящихся к исследованию устойчивости различных форм равновесия упругих систем, представляет некоторые особенности, и поэтому мы считаем целесообразным выделение вопросов устойчивости в особую главу. При изучении деформаций тел, у которых все размеры одного порядка, мы привели теорему Кирхгофа которая говорит, что заданной системе внешних сил может соответствовать лишь одно решение уравнений теории упругости, т. е. одна форма равновесия. Такая форма равновесия как единственная, очевидно, будет устойчивой, и если какие-либо внешние причины вызовут отклонение тела от этой формы, то по устранении этих причин тело вернется в свое первоначальное состояние.

Доказательство теоремы Кирхгофа было основано на допущении, что малым деформациям, которые могут возникать при допускаемых на практике напряжениях, будут соответствовать весьма малые перемещения точек тела и потому можно не делать различия в распределении сил до и после деформации. Когда мы переходим к телам, у которых один или два размера малы, т. е. исследуем вопросы о равновесии тонких пластинок или тонких стержней, то здесь встречаемся с возможностью появления весьма значительных перемещений при деформациях, не выходящих за допускаемые пределы. В таких случаях приходится принимать во внимание те изменения в действии сил, которые обусловлены перемещениями при деформации. В качестве простейшего примера приведем подробно рассмотренную нами задачу об одновременном действии на балку продольной силы и поперечных нагрузок. Если бы мы в этой задаче при оценке действия продольной силы исходили из первоначальной прямой формы, то заключили бы, что продольная сила вызывает лишь растяжение или сжатие стержня. Иной результат мы получим, если примем во внимание перемещения, вызванные деформацией. Мы находим, что продольная сила влияет на изгиб стержня и это влияние при некоторых условиях может быть весьма значительным.

Таким образом, в случае тонких стержней и пластинок отпадают те условия, на которых построено доказательство теоремы об однозначности решения уравнений теории упругости, и мы встречаемся с возможностью существования нескольких форм равновесия при одних и тех же внешних силах. Так, например, при действии продольных сжимающих сил прямой стержень может сохранить свою прямую ось; но при некоторых условиях эта ось может и искривиться, тогда мы

будем иметь явление продольного изгиба, изученное еще Эйлером То же самое мы будем иметь в случае кругового кольца, сжимаемого равномерно распределенными давлениями. Под действием этих давлений кольцо может сохранить свою круговую форму и только несколько сжаться, но при некотором соотношении между поперечными размерами кольца и давлением круговая форма равновесия перестает быть устойчивой и кольцо сплющивается.

С тем же вопросом устойчивости мы встречаемся при исследовании изгиба тонкой полосы, имеющей форму линейки. Если такую линейку изгибать в плоскости ее наибольшей жесткости, то легко можно убедиться, что при некотором значении изгибающих сил плоская форма изгиба перестает быть устойчивой и полоса выпучивается в направлении наименьшей жесткости. В настоящее время имеются решения для целого ряда задач этого рода. Особый интерес в этих решениях представляют те предельные значения внешних сил, при которых становится возможным появление нескольких форм равновесия. Эти предельные значения в дальнейшем будем называть критическими нагрузками. Они играют весьма важную роль во всех технических вопросах, так как безусловно необходимо, чтобы те формы равновесия, которые кладутся в основание расчетов на прочность, были устойчивы.

Первое систематическое рассмотрение устойчивости равновесия упругих тел принадлежит Дж. Брайану. Он выяснил пределы применимости теоремы Кирхгофа и показал, что при условии малых деформаций она отпадает, если только один или два размера тела можно считать малыми. При этом явление неустойчивости может иметь место в пределах упругости, если произведение модуля упругости на квадрат отношения малого размера к конечному будет того же порядка, что и предел упругости материала. Дальнейшая разработка общей теории устойчивости равновесия упругих тел принадлежит Саусвеллу. Он устраняет ограничение относительно малости деформаций и оперирует с идеальным телом бесконечно большой прочности. При этих условиях и тела, у которых все размеры одного порядка, могут оказаться в состоянии неустойчивого равновесия. Исходя из однородного напряженного состояния тела, Саусвелл дает точкам тела весьма малые перемещения и для этой отклоненной формы пишет дифференциальные уравнения нейтрального равновесия, причем считает начальные деформации конечными. То соотношение между внешними силами и размерами тела, при котором полученные уравнения дают для решения, удовлетворяющие условиям на поверхности, определяет критическое значение нагрузки в рассматриваемом случае. Применяя свой общий метод к тонким стержням и пластинкам, Саусвелл нашел, что имеющиеся решения задач устойчивости являются лишь первыми приближениями, хотя и вполне достаточными для практических приложений. Мы в дальнейшем ограничимся этими приближенными решениями, отсылая интересующихся теорией вопроса к работе Саусвелла.

При решении вопросов устойчивости можно пользоваться двумя приемами. Первый из них основан на рассмотрении условий равновесия отклоненной

формы, весьма близкой к изучаемой форме равновесия. Второй прием основан на рассмотрении энергии системы. При пользовании первым приемом мы будем составлять дифференциальное уравнение равновесия для формы, весьма мало отклоненной от изучаемого состояния равновесия. При малых отклонениях мы придем к линейному дифференциальному уравнению и критические значения нагрузок найдутся из тех соотношений между силами и размерами тела, при которых наше уравнение может иметь несколько решений, удовлетворяющих одним и тем же условиям на поверхности. При этом одна из произвольных постоянных остается неопределенной, т. е. мы в пределах весьма малых отклонений будем иметь состояние безразличного равновесия. Иногда этот прием несколько видоизменяют, присоединяют к заданным нагрузкам, критическое значение которых нужно определить, дополнительные силы и смотрят, при каком значении заданных сил перемещения, вызываемые дополнительными силами, будут неопределенно возрастать. Это значение заданных сил и будет критическим.

Рис. 35.

При пользовании вторым приемом мы определяем энергию, соответствующую изучаемой форме равновесия, и сравниваем ее с энергией соседних форм. Критерий устойчивости тот же, что и в случае абсолютно твердых тел: устойчивой формой равновесия будет та, которой соответствует минимум потенциальной энергии. Например, при рассмотрении случаев, представленных на рис. 35, мы прежде всего, применяя начало возможных перемещений, убеждаемся, что все три положения шарика О представляют собой формы равновесия, если только точке касания А соответствует вертикальная нормаль шаровой поверхности Считая поверхности идеальными и ограничиваясь лишь малыми первого порядка, мы легко убеждаемся, что во всех трех случаях работа силы тяжести шарика на всяком возможном перемещении равна нулю. Во всех трех случаях мы имеем положение равновесия. Чтобы оценить, устойчивы или неустойчивы эти формы, необходимо более подробное исследование, нужно принять в расчет малые высшего порядка. Тогда мы убедимся, что в случае, показанном на рис. 35, а, всякое отклонение шарика сопровождается повышением его центра тяжести, т. е. увеличением потенциальной энергии. В случае, представленном на рис. 35, в, мы при всяком отклонении будем иметь понижение центра тяжести шарика, уменьшение потенциальной энергии. Первая форма равновесия, которой соответствует минимум потенциальной энергии, будет устойчива; вторая — неустойчива. Случай, изображенный на рис. 35, б, представляет собой форму безразличного равновесия.

В рассмотренных примерах устойчивость равновесия зависит лишь от устройства системы и не находится ни в какой связи с величиной действующей силы. При изучении устойчивости равновесия упругих тел задача стоит несколько иначе. При малых значениях действующих сил формы обыкновенно устойчивы и теряют свою устойчивость лишь тогда, когда внешние силы достигнут определенного критического значения. Задачи этого рода можно иллюстрировать такой механической моделью (рис. 36, а).

Шарик веса и радиуса занимает низшую точку шаровой впадины радиуса На шарик передается давление при помощи штифта, перемещающегося в особых направляющих по вертикальному радиусу шаровой впадины. Нужно исследовать вопрос об устойчивости этой формы равновесия шарика, если все поверхности идеально гладкие. Отклоняя шарик от среднего положения на весьма малый угол (рис. 36, б), мы видим, что центр тяжести шарика поднимается на высоту а груз опускается вниз на величину Применяя основной критерий устойчивости, заключаем, что форма равновесия устойчива, если и неустойчива, когда

Из рисунка видим, что отрезок между касательной и дугой круга с углом и радиусом следовательно, при малом

Рис. 36.

Отрезок заключен между дугами, радиусы которых равны и углы равны В таком случае на основании формулы (а) имеем

Критическое значение груза это то значение, которому соответствует переход от устойчивой к неустойчивой форме равновесия. Мы его найдем, приравняв нулю изменение энергии системы при всяком отклонении шарика от его среднего положения, т. е. положив

откуда

При всяком значении нагрузки меньшем критического, форма равновесия, представленная на рис. 36, будет устойчивой, и если какая-либо случайная причина сообщит шарику весьма малое отклонение, то по устранении этой причины он вернется в свое первоначальное положение. При нагрузках, больших критической, форма равновесия перестает быть устойчивой.

Описанная механическая модель представляет собой полную аналогию тем задачам, с которыми мы встречаемся при исследовании устойчивости упругих систем. Возьмем простейшую из них — задачу Эйлера (рис. 37).

Призматический упругий стержень, вертикально заделанный нижним концом, сжимается грузом приложенным к верхнему концу. Если сжимающий груз мал, то прямая форма равновесия стержня будет устойчивой. Стержень будет испытывать лишь сжатие, и если какая-либо посторонняя причина слегка изогнет его, то по устранении этой причины он вернется в свое первоначальное состояние. Постепенно увеличивая груз мы можем достигнуть того предела, когда прямая форма равновесия перестает быть устойчивой и, наконец, стержень искривляется в плоскости наименьшей жесткости, как показано на рисунке.

При определении критического значения груза применяем тот же прием, что и в разобранном выше примере. Дадим нагруженному стержню весьма малое отклонение от прямой формы. При этом потенциальная энергия деформации стержня несколько возрастет, к энергии сжатия присоединится энергия изгиба. Пусть представляет собой приращение энергии деформации. Указанное искривление стержня будет сопровождаться опусканием груза а следовательно, и некоторым уменьшением энергии системы. Пусть будет это уменьшение, равное работе опускающегося груза. Применяя основной критерий устойчивости, заключаем, что прямая форма равновесия сжатого стержня будет устойчива, если и неустойчива при

Критическое значение сжимающей силы найдется из условия

Рис. 37.

Этим условием мы будем в дальнейшем часто пользоваться при определении критических нагрузок.

Заметим здесь, что в случае применения основного критерия устойчивости к упругим системам, имеющим бесконечное число степеней свободы, нужно из всех возможных форм отклонения выбрать такую, для которой уравнение (103) дает наименьшее значение критической нагрузки. Это разыскание надлежащей формы отклонения приводит нас в конце концов к тому же дифференциальному уравнению, которое приходится составлять при условии пользования первым методом решения вопросов устойчивости. Мы можем избежать интегрирования этого уравнения и получить приближенное решение задачи, заменив нашу упругую систему системой с конечным числом степеней свободы. Тогда решение задачи сводится к разысканию обыкновенного максимума или минимума, и вычисление критических нагрузок с любой степенью точности не представляет никаких принципиальных затруднений. Этот способ вычисления мы дальше поясним на отдельных примерах.

В заключение заметим, что в основание всех дальнейших выводов положен закон Гука, и потому значения критических нагрузок, вычисляемые по приводимым ниже формулам, будут соответствовать действительности лишь в том случае, если вызываемые этими нагрузками напряжения не выходят из пределов упругости.

В тех случаях, когда форма равновесия становится неустойчивой при напряжениях, превосходящих предел упругости материала, вычисление критических нагрузок должно выполняться иными методами. В настоящее время уже имеется решение простейших задач этого рода и полученные результаты прекрасно совпадают с данными опытов.