§ 55. Изгиб прямоугольной пластинки, у которой две прямо противоположные стороны оперты, а две другие закреплены любым способом

Предположим, что стороны пластинки, параллельные оси у (см. рис. 102), оперты, а две другие стороны закреплены как угодно. При исследовании вопроса об изгибе этой пластинки воспользуемся решением М. Леви Мы удовлетворим условиям на опертых сторонах пластинки, если возьмем частное решение дифференциального уравнения

в такой форме:

Здесь - неизвестная пока функция которая должна быть выбрана таким образом, чтобы были удовлетворены уравнение (а) и условия по сторонам пластинки, параллельным оси х. Будем искать выражение для прогиба пластинки в форме бесконечного ряда:

который получается путем наложения решений вида

Подставив выражение (с) в дифференциальное уравнение (а), найдем

Отсюда, умножая обе части полученного уравнения на и интегрируя их в пределах от до а, получаем для функции такое линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

Если для сокращения положим а и обозначим через частное решение уравнения (d), то общий интеграл его напишется так:

Произвольные постоянные могут быть определены из условии закрепления по краям пластинки, параллельным оси х.

Найдем значения этих постоянных для нескольких частных случаев. 1. Если предположить, что края пластинки, параллельные оси оперты, то придем к рассмотренной выше задаче Навье. Условия закрепления на этих краях пишутся так:

откуда

Для получения произвольных постоянных общего интеграла (е) будем иметь такие уравнения:

В случае равномерно распределенной нагрузки интенсивности уравнение (d) напишется так:

При четном правая часть полученного уравнения обращается в нуль и мы будем иметь Произвольные постоянные определяемые из уравнений будут этом равняться нулю, вместе с тем обращаются в нуль и функции четного порядка. При нечетном найдем

Уравнения (f) дадут для произвольных постоянных значения

где для краткости принято обозначение

Выражение для напишется так:

Прогиб пластинки на основании (с) представится в таком виде:

Полученный для бесконечный ряд весьма быстро сходится и потому при вычислениях он представляет большие удобства, чем приведенное выше решение Навье Пользуясь решением (223), мы можем без особых затруднений составить выражения для изгибающих моментов, для перерезывающих сил и для давления на контур. Соответствующие числовые результаты, полученные иным путем, приведены в табл. 26.

2. В качестве второго примера рассмотрим теперь случай, когда одна из сторон пластинки, параллельных оси заделана, а другая — совершенно свободна. Положим, что заделанной является сторона тогда условия закрепления напишутся так (см. формулу (211)):

На опертых краях условия остаются прежними. Произвольные постоянные общего интеграла (е) определятся из уравнений

выражающих условия закрепления по заделанной стороне и двух других уравнений, относящихся к свободной стороне.

В случае равномерной нагрузки при нечетном имеем

и два других уравнения для определения произвольных постоянных напишутся так:

На основании этих уравнений получаем для произвольных постоянных такие значения

Таблица 27 (см. скан)

При четном постоянные равны нулю.

Подставляя значения постоянных в общий интеграл (е), получаем при равномерно распределенной нагрузке выражение для прогиба пластинки в форме такого быстросходящегося ряда:

Наибольший прогиб пластинки получится по середине свободного края пластинки. Кривую изгиба этого края найдем, если в общем выражении (224) положим Если велико по сравнению с а, т. е. если свободный край пластинки весьма удален от параллельного ему заделанного края, то уравнение изогнутого свободного края пластинки отличается от уравнения изогнутой оси равномерно нагруженной балки с опертыми концами лишь множителем и наибольший прогиб пластинки больше соответствующего прогиба балки на 6,4%. Такое превышение прогиба пластинки над прогибом балки объясняется тем, что у свободного края происходит искривление пластинки не по цилиндрической, а по антикластической поверхности.

Если взять другой крайний случай, когда мало по сравнению с а, то вдали от опертых краев будем иметь искривление пластинки по цилиндрической поверхности. Элементарные балки-полоски, параллельные опертым краям, будут гнуться, как балка с одним заделанным и другим свободным концом. Жесткость этих балок нужно принять равной

Значение наибольшего прогиба пластинки при различных соотношениях между приведены в табл. 27 .

Пользуясь общим выражением (224) для прогиба, мы можем составить формулы для изгибающих моментов, перерезывающих сил и давлений на контур. Наибольшее значение получится в месте наибольшего прогиба, т. е. посередине свободной стороны пластинки. Наибольшее по абсолютной величине значение будем иметь по середине заделанного края. Ряд значений и приведен в табл. 27.

3. В качестве последнего примера рассмотрим случай, когда стороны пластинки, параллельные оси оперты на упругий контур, например на балки, прогибающиеся под действием приходящихся на них давлений. Жесткости этих балок примем одинаковыми, тогда получим симметричный случай закрепления краев пластинки. Располагая координатные оси, как указано на рис. 105, и обозначая через жесткость балок, на которые опираются продольные стороны пластинки, напишем условия на упруго опертом крае иластинки так (см. формулы

Рис. 105.

Этими условиями воспользуемся для определения произвольных постоянных общего интеграла Постоянные при выбранном расположении координат обращаются в нуль, так как должно быть четной функцией у. В случае равномерно распределенной нагрузки нужные нам уравнения напишутся для нечетного так:

Таблица 28 (см. скан)

Решая эти уравнения для нечетного, получаем

При четном Подставив эти значения постоянных в общее выражение для прогиба

найдем формулы для прогиба пластинки, для изгибающих моментов и для давления на контур. Чтобы показать, как влияет жесткость контура на обстоятельства изгиба пластинки, приводим в табл. 28 значения прогиба и моментов в центре квадратной пластинки К При получаем изгиб пластинки, опертой на абсолютно жесткий контур. При получаем изгиб квадратной пластинки в том случае, когда две стороны оперты на жесткий контур, а две другие совершенно свободны. Заметим, что в последнем случае прогиб по середине свободных краев пластинки будет больше, нежели прогиб в центре, и в этих точках достигает наибольшего значения.

Без всяких затруднений решение Леви может быть применено также к исследованию изгиба пластинки, у которой стороны, параллельные оси х, обе заделаны или одна заделана, другая оперта, или, например, одна оперта, а другая свободна. Решение Леви распространяется легко также на те случаи, когда стороны контура, параллельные оси не вполне жестки, а представляют собой сравнительно гибкие балки, прогибающиеся под действием приходящихся на них давлений.

Рис. 106.

Рис. 107.

Таким способом без всяких затруднений может быть решена задача об изгибе прямоугольной пластинки, опертой на абсолютно жесткий контур и подкрепленной по середине ребром (рис. 106). При равномерной нагрузке поверхность изгиба будет симметрична относительно и каждая половина нашей пластинки будет находиться в условиях пластинки, три стороны которой оперты на жесткий контур, а четвертая заделана на упругом контуре. Условия для этой четвертой стороны, если мы будем рассматривать нижнюю половину нашей пластинки, пишутся так:

Присоединяя сюда условия по опертому краю мы получим достаточное число уравнений для определения произвольных постоянных общего интеграла

Если длинная прямоугольная пластинка подкреплена большим числом равноудаленных упругих ребер (рис. 107), то исследование изгиба части пластинки удаленной от поперечных сторон, сводится к расчету пластинки, у которой две стороны оперты, а две другие заделаны на упругом контуре.