§ 60. Об устойчивости прямоугольной пластинки, сжатой вдоль одной из сторон

Рассмотрим первоначально более простую задачу. Предположим, что одно из усилий, например равно нулю, и определим при помощи (с) критическое значение другого усилия. Условие (с) перепишется в этом случае так:

откуда

Критическим значением сжимающего усилия будет наименьшее из тех его значений, которые получаются по формуле (d).

Так как числитель и знаменатель дроби (d) представляются в виде сумм положительных чисел, то наименьшее значение этой дроби будет получаться, когда все коэффициенты кроме одного, положим равными нулю. Ясно также, что при этом должно быть взято равным единице. Вместо (d) получаем

То обстоятельство, что нам пришлось из бесконечных сумм оставить в выражении (d) лишь по одному члену и положить показывает, что первая искривленная форма равновесия пластинки имеет такой вид:

В случае сжатия пластинки в направлении оси х она выпучивается при критическом значении сжимающего усилия так, что в направлении оси у получается одна полуволна, в направлении оси полуволн. Для определения нужно выбрать для такое число, чтобы правая часть выражения (d) получила наименьшее значение, которое и представит собой критическое сжимающее усилие.

Если а мало по сравнению с то сразу видно, что в формуле нужно положить и мы для определения будем иметь в этом случае формулу

Первый множитель в полученном выражении для представляет собой критическое сжимающее усилие для балки-полоски, вычисленное по формуле Эйлера. Вторым членом в скобках оценивается влияние коротких сторон пластинки на величину критических сжимающих усилий. Перейдем теперь от критических усилий к критическим напряжениям. Разделив на толщину пластинки и введя обозначения

получим

Обратимся теперь к другому крайнему случаю, когда пластинка имеет весьма большую длину в направлении действия сжимающих усилий Для определения числа полуволн, на которое пластинка подразделится при выпучивании, обратимся к выражению (d). С числом будем поступать как с непрерывно изменяющейся величиной. Составляя производную от по и приравнивая эту производную нулю, находим т. е. наименьшее значение сжимающих усилий будет соответствовать той искривленной форме выпучившейся пластинки, когда длина полуволн, получившихся при выпучивании, равняется ширине пластинки. При этом пластинка подразделяется узловыми линиями (линиями, по которым прогиб пластинки равен нулю) на квадраты, и критическое значение сжимающих усилий на основании представится так:

т. е. критические усилия имеют в данном случае такое же значение, как для балки-полоски длины с заделанными концами. Введя обозначения

для критических напряжений балки-полоски длины с опертыми концами, получим в случае весьма длинной пластинки, сжимаемой в направлении длины,

Результат этот можно было бы предвидеть на основании того, что нами было получено в случае сжатия короткой пластинки, выпучивающейся по одной полуволне. Соответствующая этому случаю формула (233) легко может быть представлена в таком виде:

Если мы, сохраняя постоянной ширину пластинки будем изменять ее длину, то при этом будет изменяться коэффициент k. Изменения эти представлены на рис. 115 кривой Мы видим, что наименьшего значения этот коэффициент достигает в случае квадратной пластинки при

Когда имеется весьма длинная пластинка, подразделяющаяся при выпучивании на ряд полуволн, то каждая полуволна, заключенная между двумя последовательными узловыми линиями, может быть рассмотрена как независимая пластинка с опертыми краями, так как по узловым линиям соответствующие изгибающие моменты обращаются в нуль. Для такой пластинки заданной ширины критическое напряжение получается наименьшим, когда ее длина равна ширине. Отсюда можем заключить, что весьма длинная пластинка при выпучивании стремится подразделиться узловыми линиями на квадраты.

На квадраты подразделится также и пластинка конечной длины, если только отношение представляет собой целое число. При дробном пластинка подразделяется узловыми линиями на прямоугольники с таким соотношением сторон, при котором критическое напряжение, вычисляемое для одной полуволны как для независимой пластинки, имеет наименьшее значение. Соответствующее число полуволн может быть установлено путем таких рассуждений.

Рис. 115.

Пока длина пластинки а мала, мы будем иметь одну полуволну, и критическое усилие найдем по формуле (d), полагая в ней Сохраняя ширину пластинки постоянной и увеличивая а, мы получаем наименьшее значение при При дальнейшем увеличении а значение начинает возрастать. Соответствующие изменения представлены на рис. 115 кривой Начиная с некоторой определенной длины а формула будет давать наименьшее значение для при условии Этому соответствует подразделение пластинки на две полуволны. Рассматривая каждую полуволну как самостоятельную пластинку, получаем изменение критических напряжений, представленное рис. 115 кривой Пересечение кривых определит то значение отношения начиная с которого получается при выпучивании две полуволны. При дальнейшем увеличении а достигнем такой длины, когда наименьшие значения определяемые из формулы (d), будут получаться при Изменения критических напряжений даются на рис. 115 кривыми То соотношение между длиной и шириной пластинки, которому соответствует переход от искривления по двум полуволнам к искривлению по трем полуволнам, определяется пересечением кривых Переход к четырем полуволнам определится пересечением кривых Вообще переход от полуволн к полуволнам происходит при таком значении отношения при котором значение правой части формулы не изменяется от замены на т. е. когда

откуда получаем

Полагая здесь находим, что переход от одной к двум полуволнам происходит при Переход от двух к трем полуволнам получается при

Таким образом, формула (f) даст нам возможность установить в каждом «астном случае число полуволн, соответствующих первой искривленной форме равновесия пластинки. Установив длину одной полуволны и вставив ее в (233) вместо а, найдем соответствующее критическое напряжение. На рис. 115 те части кривых, которые соответствуют искомым критическим напряжениям, показаны сплошной линией, и мы видим, что с увеличением длины пластинки уменьшаются колебания величины Несколько значений коэффициента входящего в формулу (233), мы приводим в табл. 30.

Таблица 30 (см. скан)

В той же таблице даем значения вычисленные для Если для рассчитываемой пластинки то для получения критических напряжений нужно числа таблицы помножить на

Определим при помощи таблицы то значение для весьма длинной прямоугольной пластинки, при котором Это соответствует пределу текучести для стали повышенного качества, применяемой в кораблестроении. При большой длине пластинки мы можем принять длину полуволны равной ширине пластинки и положить . Из таблицы имеем Нужное число найдется из условия откуда