§ 41. Колебания стержней в упругой среде

Предположим, что колеблющийся стержень при изгибе встречает сопротивления среды, пропорциональные в каждой точке прогибу стержня. Если пренебречь массой упругой среды, считать ее невесвмой, то исследование как свободных, так и вынужденных колебаний стержней не встречает никаких затруднений. Рассмотрим в качестве примера колебания стержня с опертыми концами.

Кинетическая энергия системы будет такая же, как и при отсутствии упругой среды, а потенциальная энергия составится из двух частей: из энергии изгиба стержня и из энергии деформации среды. Таким образом, будем иметь

Уравнения (146) получают такой вид:

Если коэффициент характеризующий жесткость упругой среды, положить равным нулю, то получим уравнение (с) предыдущего параграфа. При исследовании колебаний мы

можем воспользоваться полученными выше решениями для стержня со свободной боковой поверхностью. Стоит только в них поставить вместо величину мы найдем соответствующее выражение для колебаний стержня в упругой среде. Возьмем, например, раскачивание стержня силой приложенной на расстоянии с от левого конца. На основании (183) пишем для вынужденных колебаний выражение

Если в знаменателях членов полученного ряда положим то придем к статическому изгибу стержня, лежащего на упругом основании, под действием силы Чтобы от статики перейти к динамике, нужно, как видно из (с), коэффициент к заменить меньшей величиной:

Динамический эффект сказывается как бы в уменьшении коэффициента жесткости упругого основания, и так как задача о статическом изгибе для стержня, лежащего на сплошном упругом основании, решается без всяких затруднений (§ 3), то форма изгиба для вынужденных колебаний, представленных бесконечным рядом (с), легко может быть дана в замкнутой форме. Все сказанное остается в силе при переходе к стержню бесконечной длины. В этом случае статический изгиб представляется так

Здесь х отсчитывается от точки приложения силы

Если вместо к подставим величину определяемую равенством (d), то получим динамический изгиб стержня бесконечной длины под действием переменной силы

Для получения колебаний, возникающих под действием силы движущейся по стержню с постоянной скоростью, мы можем воспользоваться решением (185). Подставляя вместо его значение (169) и заменяя

получаем для вынужденных колебаний стержня, лежащего на сплошном упругом основании, такое выражение:

Если в полученном решении положим придем к известному выражению (81) для статического изгиба стержня, лежащего на упругом основании, сосредоточенной силой Динамический прогиб отличается от статического тем, что в знаменатель каждого члена ряда (е) входит добавочный член

Сравнение решения (е) с выражением

представляющим изгиб стержня с опертыми концами, лежащего на сплошном упругом основании и сжимаемого продольными силами (см. § 15), позволяет заключить, что влияние на

прогиб перемещения изгибающей силы таково, как и влияние продольной сжимающей силы определяемой равенством

Заключение это, конечно, будет сохранять свою силу и в том случае, когда мы будем беспредельно увеличивать длину стержня.

Мы знаем, что, постепенно увеличивая продольную сжимающую силу, можно достигнуть критического ее значения, при котором прямая форма равновесия стержня перестает быть устойчивой и стержень искривляется. Соответственно этому в рассматриваемой задаче динамики можно найти критическую скорость для перемещения силы Так как то на основании

Применяя эту формулу к железнодорожным рельсам, мы получили бы для значение, во много раз превосходящее скорости, встречающиеся на практике.