§ 35. Общее решение нлоской задачи для полосы, любым образом нагруженной по продольным сторонам

На нескольких примерах было показано, как, выбирая решения плоской задачи в виде целых полиномов, можно получать распределение напряжений для изгибаемой полосы. Функция напряжений в виде полинома третьей степени дала нам распределение напряжений в случае чистого изгиба полосы. Полином четвертой степени послужил для решения задачи об изгибе полосы силой, приложенной на конце. Из полинома пятой степени получено решение для полосы, несущей равномерно распределенную нагрузку.

Повышая степень полинома, мы будем получать все новые решения. Так, например, полином шестой степени дает возможность найти распределение напряжений для случая нагрузки, распределенной по закону треугольника.

Легко проверить, что напряжения

представляют собой решение задачи, представленной на рис. 22.

Здесь у — вес единицы объема материала пластинки; давление, приходящееся на единицу поверхности по грани

Полагая находим При будем иметь Для верхней грани пластинки получим

Хотя касательные напряжения по верхней грани и не обращаются в нуль, величина их незначительна и равнодействующая равна нулю. Поэтому приведенным решением можно пользоваться для определения напряжений в случае, представленном на рис. 22.

Рис. 22.

Рис. 23.

Полином седьмой степени дает решение задачи для случая, представленного на рис. 23. При этом сплошная нагрузка изменяется по параболическому закону.

Во всех тех случаях, когда закон изменения интенсивности сплошной нагрузки, распределенной по продольным сторонам полосы, представлен целой алгебраической функцией, мы можем воспользоваться решениями плоской задачи в виде целых полиномов

Что касается условий на концевых поперечных сечениях полосы, то наложением равномерного растяжения или сжатия вдоль оси х и чистого изгиба в плоскости ху мы всегда сможем привести усилия, распределенные по концам, к системе сил, эквивалентной соответствующим опорным реакциям балки. При таком способе решения задачи мы удовлетворяем полностью всем условиям на продольных сторонах полосы.

Закон распределения усилий по концевым сечениям в этом случае может отличаться от того, который имеет место в действительности, но при невысоких балках изменение распределения усилий по концам влечет за собой значительное изменение напряжений лишь у концов балки. В местах, удаленных от концов, полученное решение будет давать достаточно точные значения напряжений при различных способах приложения опорных реакций.

Рис. 24.

Если нагрузка, действующая на балку, такова, что закон ее распределения не может быть представлен целой алгебраической функцией (рис. 24), то для получения решения соответствующей плоской задачи можно разложить функцию, представляющую изменение интенсивности сплошной нагрузки вдоль балки, в тригонометрический ряд и вычислить напряжения, соответствующие первым членам этого ряда. Чтобы выяснить напряжения, соответствующие одному какому-либо члену тригонометрического ряда, рассмотрим

предварительно функцию напряжений вида

где представляет собой неопределенную пока функцию от одного у.

Вставляя взятую функцию напряжений в основное дифференциальное уравнение

находим, что функция должна удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению где Общий интеграл этого уравнения напишется так:

выбранная нами функция напряжений представится в следующем виде:

Соответствующие ей напряжения будут иметь такие значения:

Положив мы найдем те усилия, которые должны быть приложены по продольным сторонам полосы, чтобы создать напряженное состояние, соответствующее выбранной функции Меняя значение произвольных постоянных мы будем получать различные решения. Можно выбрать эти постоянные так, чтобы В таком случае получим изгиб полосы вертикальной сплошной нагрузкой, приложенной к верхней грани балки и изменяющейся по закону

При этом произвольные постоянные определятся из уравнений —

В общем случае изменение интенсивности сплошной нагрузки, приложенной к верхней грани балки, может быть представлено тригонометрическим рядом

и мы получим соответствующую функцию напряжений путем наложения решений вида

Количество вычислений, связанных с таким решением, конечно, будет зависеть то того, каким числом членов ряда (d) можно ограничиться при условии получения надлежащей степени точности.

При таком способе решения задачи может случиться, что на поперечных сторонах полосы кроме усилий, необходимых для уравновешивания заданных нагрузок, появятся еще некоторые добавочные усилия. В самом общем случае усилия эти на каждом конце приведутся к силе и паре сил. Влияние их на напряжения в местах, удаленных от концов балки, мы сможем устранить, налагая на найденное для напряжений решение напряжения, соответствующие простому растяжению или сжатию, напряжения чистого изгиба и напряжения при изгибе силой, приложенной на конце.