§ 65. Сжатие упругих тел

Имея средства вычислять напряжения и деформации, возникающие в упругом теле, ограниченном плоскостью, мы можем подойти к решению весьма важной задачи о распределении напряжений у места соприкасания двух прижимаемых друг к другу упругих тел.

Рис. 92.

Пусть два тела (рис. 92) касаются друг друга в точке О. Плоскость касательную в этой точке к обоим телам, примем за плоскость ху, а ось z направим перпендикулярно к Через обозначим направление внутрь тела I и через прямо противоположное направление. Если одно тело давит на другое, то у точки касания О происходит вдавливание тел друг в друга и вместо одной точки касания мы получим некоторую поверхность соприкосновения. Размеры этой поверхности будем считать малыми по сравнению с размерами сжимаемых тел. В таком случае при вычислении напряжений и деформаций можно будет пользоваться формулами предыдущего параграфа, выведенными для тел, ограниченных плоскостью. Особый практический интерес представляет вопрос о распределении давлений по поверхности соприкосновения.

Предположим, что до деформации уравнения поверхностей соприкасающихся тел у точки касания О представлены уравнениями

Представим себе функции и разложенными в ряды по возрастающим степеням Ряды эти не будут заключать постоянного члена и членов с первыми степенями так как в начале координат и плоскость касательна к обеим поверхностям. Первыми членами в разложениях функций будут члены второй степени относительно х и у, и потому, отбрасывая все члены высших степеней, мы будем иметь

Таким образом, вблизи точки касания поверхности сжимаемых тел могут быть заменены некоторыми поверхностями второй степени.

Если взять на плоскости точки касания какую-либо точку с координатами х и у, то соответствующее расстояние между поверхностями тел и Ну считая по перпендикуляру к представится на основании

т. е. все точки плоскости которым соответствует какое-либо постоянное значение лежат на одном эллипсе, определяемом уравнением (с). Всегда можно координатные оси х и у повернуть так, чтобы в уравнении (с) член, заключающий произведение ху, пропал. Тогда будем иметь

где постоянные величины, зависящие от очертания и взаимного расположения соприкасающихся тел.

Возьмем у точки касания О на поверхностях тел I и II две "соответствующие точки. Тогда будет представлять расстояние между этими точками до деформации. При сжатии намеченные точки сначала сближаются до совпадения, а дальше начинается в этом месте вдавливание одного тела в другое. Обозначим через перемещения взятых нами точек в направлении осей при указанном вдавливании. Через а обозначим сближение тел, причем под сближением будем подразумевать уменьшение расстояния между двумя точками, лежащими на осях и весьма удаленными от точки касания О. В таком случае, очевидно, что для каждой пары соответствующих точек имеет место соотношение Следовательно,

Воспользуемся для перемещений формулой (138). Так как сжимаемые тела могут обладать различными упругими свойствами, то в указанной формуле упругие постоянные возьмем разными и для упрощения письма введем обозначения

Тогда уравнение (139) перепишется так:

Здесь, очевидно, обозначает интенсивность давлений, возникающих при сжатии по поверхности соприкосновения.

Если нам задан вид поверхностей тел I и II у точки касания, то из геометрических соображений найдем постоянные величины входящие в правую часть уравнения (139). Задача сводится к отысканию такого закона распределения давлений при котором будет удовлетворено уравнение (139),

Мы ограничимся здесь рассмотрением простейшей задачи, когда В этом случае поверхность соприкосновения имеет круговой контур и уравнение (139) напишется так:

где представляет собой расстояние рассматриваемой точки от начала координат О.

Определение коэффициента у в каждом частном случае может быть выполнено без всяких затруднений. Возьмем, например, случай сжатия двух шаров различных радиусов (рис. 93). Из геометрических соображений заключаем, что откуда, пренебрегая малыми высшего порядка, находим Следовательно,

Рис. 93.

Для случая вдавливания шара в плоскость (рис. 94) нужно положить следовательно,

При вдавливании шара в шаровое углубление (рис. 95) нужно считать отрицательным. В таком случае

следовательно,

Рис. 94.

Рис. 95.

Возвратимся теперь к уравнению и покажем прием, которым мы будем пользоваться при вычислении интеграла

Пусть контур той площадки (рис. 96), по которой распределяется давление Возьмем точку А, для которой нужно вычислить интеграл вне контура При вычислении нагрузку, приходящуюся на каждый элемент площади придется делить на расстояние рассматриваемого элемента от точки А и полученные таким образом результаты суммировать. Суммирование должно быть распространено на все элементы площади Для упрощения вычислений представим себе, что в каждой точке площади по перпендикуляру к площади отложен отрезок, пропорциональный соответствующей интенсивности нагрузки Концы этих отрезков расположатся на некоторой

поверхности, характеризующей закон распределения давлений Если через А провести плоскость, перпендикулярную к площади то линия пересечения этой плоскости с построенной нами поверхностью (на рисунке линия эта представлена в совмещенном виде пунктирной линией) характеризует закон распределения давлений вдоль прямой представляет собой сечение проведенной через А плоскости с площадью Линиями и А С и дугами кругов с радиусами выделим из площади элемент Приходящаяся на этот элемент нагрузка будет

Рис. 96.

Здесь через мы обозначили соответствующую ординату построенной нами над площадью поверхности, через с обозначен коэффициент пропорциональности, на который приходится множить ординаты поверхности для получения соответствующей интенсивности нагрузки

Соберем все элементы площади лежащие между прямыми Для них

Здесь через обозначена заштрихованная на рисунке площадь между пунктирной линией и прямой

Для вычисления интеграла придется суммировать элементы вида (140), давая углу все значения в пределах между крайними касательными

Рис. 97.

Рис. 98.

Полученное выше равенство (140) сохраняет силу и в том случае, если точка А будет взята внутри площади (рис. 97). Чтобы собрать все элементы площади придется в данном случае изменять в пределах от до .

После этих предварительных замечаний перейдем к разысканию распределения давлений в том случае, когда поверхность соприкосновения имеет круговой контур. Распределение давлений будет симметрично относительно начала координат и представится функцией только Функция эта должна быть подобрана таким образом, чтобы было выполнено условие

Покажем, что этому можно удовлетворить, допустив, что давление в любой точке поверхности соприкосновения пропорционально ординате полусферы, построенной на поверхности соприкосновения. Обозначим через а радиус контура поверхности соприкосновения (рис. 98) и через интенсивность давления в точке О. Коэффициент пропорциональности с, которым мы пользуемся при построении полусферы, определится из условия откуда

Вычислим для какой-либо точки А на расстоянии от начала координат О. Это, как выше было показано, равносильно вычислению интеграла

Здесь площадь полукруга, указанного на рисунке пунктиром. Она, очевидно, будет функцией угла Радиус полукруга определится из условия Следовательно, Таким образом, мы получаем

Вставляя этот результат в уравнение находим

Отсюда заключаем, что

Величина может быть определена из того условия, что сумма всех давлений по поверхности соприкосновения должна равняться той силе с которой тела нажаты друг на друга. Принимая во внимание закон распределения давлений, получаем откуда интенсивность давления в центре поверхности соприкосновения в полтора раза превосходит среднее значение давления.

Вставляя в выражения (141), получаем для а — радиуса контура поверхности соприкосновения и а — сближения тел при сжатии следующие значения:

В случае сжатия двух шаров, имеющих радиусы получаем

Для шаров, изготовленных из одного материала, положив , находим

Для величины наибольшего давления в центре поверхности соприкосновения получаем значение

В случае вдавливания шара в плоскость нужно в предыдущих формулах положить один из радиусов, например равным бесконечности. Тогда будем иметь

Из последней формулы видно, что при постоянном значении максимального давления сжимающие силы для различных шаров, изготовленных из одного и того же материала, относятся между собой как квадраты соответствующих радиусов и величина остается постоянной. Каждому значению легко находим соответствующее значение сжимающей силы, отнесенной к единице площади диаметрального сечения.

Опыты показывают, что для шариков из лучшей закаленной стали можно допустить где диаметр шарика в сантиметрах. Такому значению соответствует давление

Мы рассмотрели задачу о сжатии упругих тел в том предположении, что поверхность соприкосновения имеет круговой контур. Намеченный путь решения применим и в более общем случае, когда поверхность соприкосновения имеет эллиптический контур с полуосями Наибольшее давление в этом случае получается в начале координат О и в 1,5 раза превосходит среднее значение давлении, следовательно,

Давление в любой точке поверхности соприкосновения будет пропорционально соответствующей ординате поверхности эллипсоида, имеющего своим диаметральным сечением поверхность соприкосновения. Выражение для этого давления напишется так:

Здесь х и у — координаты точки, к которой относится давление Увеличивая полуось а эллипса соприкосновения, Герц получил в пределе случай сжатия цилиндров с параллельными образующими. Вместо эллипса в этом случае получается полоска соприкосновения шириною 26. Для 6 Герц нашел такое выражение

Здесь через обозначена величина сжимающей силы, приходящейся на единицу длины цилиндров; радиусы сжимаемых цилиндров. Величина наибольшего давления определится такой формулой:

Полагая один из радиусов равным бесконечности, мы приходим к случаю сжатия цилиндра и плоскости. Формулы для напишутся в этом случав так:

На практике с подобной задачей приходится встречаться при расчете катков мостовых опор. Размеры стальных катков намечают обыкновенно таким образом, чтобы максимальное давление определяемое по формуле (148), не превосходило