§ 30. Об устойчивости равномерно сжатого кругового кольца или его части

Если круговое кольцо подвергнуть действию равномерно распределенных внешних давлений интенсивности то ось кольца будет испытывать равномерное сжатие, сохраняя первоначальную круговую форму. Постепенно увеличивая интенсивность давлений, мы можем достигнуть предела, за которым круговая форма перестает быть устойчивой и кольцо начинает сплющиваться, как показано на рис. 67. При исследовании устойчивости применим первый метод (см. стр. 258). Предположим, что под действием внешних давлений сплющивание произошло, составим дифференциальное уравнение равновесия для искривленной формы и из решения этого уравнения найдем, каковы должны быть давления чтобы искривленная форма была возможной. Оси симметрии сплющенной формы принимаем за координатные оси х, у и производим разрез кольца по горизонтальной оси симметрии (рис. 67, б). Тогда действие нижней половины кольца на верхнюю может быть в каждом из произведенных сечений заменено силой и парой сил Что касается усилия 5, то его мы легко находим из условий статики. Обозначая через радиальные перемещения для точек будем, очевидно, иметь

Рис. 67.

Составим теперь основное дифференциальное уравнение для изогнутой оси кольца. Изгибающий момент в какой-либо точке С составится из момента силы и пары сил приложенных в точке и из момента давлений, равномерно распределенных по дуге Таким образом, мы получаем

Из рисунка видно, что

откуда

Пренебрегая малыми высшего порядка, мы можем теперь выражение для изгибающего момента переписать так: Тогда дифференциальное уравнение для изогнутой оси представится так:

Вводя для краткости обозначение

получаем для и такое выражение:

Так как мы условились отсчитывать от оси симметрии, то для определения произвольных постоянных будем иметь

Следовательно, и

Второе из этих уравнений дает нам где целое число.

Полагая находим на основании принятого обозначения откуда 1

Рис. 68.

Мы взяли наименьший корень уравнения (d), которому соответствует При этом величина и, как видно из общего решения (с), два раза проходит через значение максимума и два раза — через значение минимума. Общий вид искривления представлен на рис. 67, а. Следующим корням уравнения (d) будут соответствовать большие значения и большее число максимумов и минимумов в выражении для и.

Заметим, что те же результаты можно получить, если воспользоваться решениями в форме тригонометрических рядов [формулы (95) и (96) § 18].

Если взять первый член этих рядов то видим, что он будет неопределенно возрастать, если сжимающая кольцо сила приближается к пределу Точно так же второй член ряда (96) будет неопределенно возрастать, если сжимающая сила подходит к пределу Легко видеть, что значения сжимающей силы, найденные таким образом, при четном соответствуют критическим значениям давления которые определяются корнями уравнения (d).

Подобным же образом решается задача об устойчивости части равномерно сжатого кольца. Возьмем, например, случай двухшарнирной круговой арки, подвергающейся действию равномерного нормального давления интенсивности (рис. 68). Так как в этом случае точки при выпучивании сжатой арки не смещаются, то давление в этих точках не изменяет своей величины, и мы получим дифференциальное уравнение для искривленной формы, представленной на рисунке, если в уравнении (а) положим Тогда

Полагая

находим

Из условия, что перемещение и на левой опоре обращается в нуль, находим Что касается перемещений направленных нормально к радиусу то из условий нерастяжимости оси следует [формула (с) § 18]

Для определения критического значения давлений воспользуемся усле» виями на правом конце арки; так как здесь перемещения должны равняться нулю, то получаем где целое число.

Наименьшее значение для получаем при Соответствующая искривленная форма представлена на рис. 68, и критическое давление определяется формулой

При этот результат совпадает с формулой (132), чего и нужно было ожидать, так как цельное кольцо после выпучивания составляется из двух луколец и (см. рис. 67, а), находящихся в таких же условиях, как» двухшарнирная круговая арка с центральным углом

При небольших значениях угла у мы можем в формуле (133) пренебречь единицей по сравнению с большим числом и тогда получим для критического значения силы 5, сжимающей арку, такую формулу:

Сравнивая этот результат с той формулой, которую мы имели для прямот стержня той же длины, что и арка, с опертыми концами, находим, что арки в четыре раза больше, чем для стержня. Объясняется это тем, что для первой искривленной формы арки вследствие принятой нерастяжимости оси прогиб и посередине пролета должен обращаться в нуль. При беспредельном уменьшении у первая искривленная форма для арки совпадает со второй форк мой для стержня.