§ 78. Практические приложения получепных результатов

Расчет сферической оболочки, находящейся под действием заданной симметрично распределенной нагрузки, приходится начинать с разыскания частного решения для уравнений предыдущего параграфа. Решение это для случаев, наиболее часто встречающихся на практике, например для равномерного давления, действия собственного веса или действия центробежной силы, соответствующей вращению относительно оси симметрии, находится без всяких затруднений.

Рис. 144.

Рис. 145.

Особенно простой результат получается при действии равномерного давления (рис. 144). В этом случае сферическая оболочка получит равномерное сжатие, не сопровождающееся изгибом. Мы будем иметь

При действии собственного веса (рис. 145) нагрузка, приходящаяся на единицу поверхности, равна и мы будем иметь

Если принять во внимание, что

то легко подобрать частное решение уравнений в такой форме:

где надлежащим образом выбранные постоянные коэффициенты.

В случае действия центробежных сил (рис. 146) горизонтальное усилие, приходящееся на единицу поверхности оболочки, будет равно

где — соответствующая угловая скорость. В таком случае

Если принять во внимание, что то можно легко подобрать частное решение уравнения в такой форме:

Если не удается подобрать решение для уравнений то мы можем воспользоваться приближенным решением, получаемым путем последовательных приближений (см. § 76) Во всех этих случаях найденные решения, вообще говоря, не будут удовлетворять условиям закрепления по опорному контуру и мы для получения полного решения задачи должны к найденному для заданной нагрузки частному решению уравнений присоединить решение уравнений Решения эти [см. формулы § 77] заключают в себе две произвольные постоянные, надлежащим выбором которых можно всегда удовлетворить условиям закрепления оболочки по опорному контуру Общий ход расчета поясним на численном примере. В дальнейшем мы будем пользоваться такими обозначениями для напряжений, соответствующих усилиям

Рис. 146.

Кроме того, напряжения при равномерном наружном давлении интенсивности будем обозначать через Следовательно,

Максимальные напряжения от изгибающих моментов будем обозначать так:

Наконец, для распора оболочки и соответствующих этому распору напряжений примем обозначения

Для моментов и для усилий будем пользоваться формулами (293) и (294). Что касается перемещений, то соответствующие им формулы (286) и (287) могут быть представлены в более удобном для приложений виде. Принимая во внимание, что

находим

В таком случав при принятых выше обозначениях для напряжений получаем формулы для перемещений в таком виде:

Возьмем такой численный пример: чугунная сферическая оболочка, для которой подвергается действию равномерного давления

Нужно найти напряжения в оболочке при различных способах закрепления по опорному контуру. В качестве первого способа закрепления рассмотрим случай подвижно опертых краев. Тогда будем иметь равномерное сжатие

Для выяснения влияния различных способов закрепления по контуру на распределение напряжений производим предварительно расчеты для двух частных случаев (II) и (III), представленных на рис. 147 и 148.

Рис. 147.

Рис. 148.

Рис. 147 соответствует случаю когда напряжения в оболочке вызываются равномерно распределенными по контуру горизонтальными усилиями и изгибающие моменты равны нулю. Рис. 148 представляет случай когда по контуру действуют усилия и моменты подобранные так, что края оболочки при деформации не поворачиваются, т. е.

Произвольные постоянные в решениях предыдущего параграфа подберем так, чтобы для случая были выполнены на контуре условия

и для случая условия

Тогда напряжения соответствующие срединной поверхности, найдутся при помощи формул (293). Их изменение в зависимости от 8 представлено на рис. 149 и 150 пунктирными линиями. Напряжения изгиба могут быть найдены при помощи формул (294). Суммарные напряжения от изгиба и растяжения представлены на рисунках сплошными линиями.

Комбинируя случаи и со случаем равномерного сжатия получаем решения и для которых на опорном контуре имеют место такие условия:

В случае сферическая оболочка, испытывающая равномерное давление, опирается на идеально гладкую плоскость. В случае по контуру приложены моменты, которые

препятствуют поворачиванию опертого края оболочки. Напряжения для случаев получатся из предыдущих решений при помощи таких схем:

Следовательно, все напряжения могут быть получены из тех же рис. 149 и 150, если в низе ось заменить новой осью и изменить масштаб ординат в отношении

[Для случаев и напряжения отложены по ординатам в масштабе Для и масштаб Перемещение оси относительно равно отложенным в новом масштабе].

Рис. 149.

Рис. 150.

Подобным же образом могут быть получены случаи и (IIIа), для которых по контуру имеются такие условия:

Случай (IIе) представляет собой сферическую оболочку с неподвижно опертым краем. Случай соответствует неподвижно заделанному краю. Можно показать, что и в этих случаях напряжения получаются из рис. 149 и 150, нужно только отсчет вести от осей и взять для напряжений новый масштаб

Особый практический интерес представляют случаи т. е. случаи оболочки, свободно опертой на гладкую плоскость или абсолютно заделанной по контуру. Подробные вычисления для этих случаев, произведенные при условии различных размеров оболочек и при различных углах показали, что в весьма широких пределах величина расчетных напряжений зависит почти исключительно от значения произведения где

Это обстоятельство дает возможность представить значения максимальных напряжений для случаев и при помощи простых приближенных формул, полученных на основании многочисленных расчетов. Для каждого из этих случаев приводим по две формулы, одна из них относится к случаю малых значений величины другая применима при больших

Случай :

Случай (III (оболочка с абсолютно заделанным краем):

Формулы эти составлены в предположении, что оболочки изготовлены из литой стали, для которой При помощи этих формул легко решается вопрос о прочности сферических оболочек, подвергающихся действию равномерного наруяшого давления и закрепленных по контуру соответственно случаям

Мы здесь ограничились рассмотрением оболочек, не имеющих отверстия в вершине. При наличии отверстия необходимо обратиться к полному интегралу дифференциального уравнения (290). Распоряжаясь четырьмя произвольными постоянными, можно удовлетворить условиям не только по опорному контуру оболочки, но и условиям по краю отверстия. Произведенные для этих случаев вычисления показывают, что усилия, распределенные по краю отверстия, мало влияют на напряжения у опорного контура, а так как эти последние обычно являются максимальными, то, следовательно, при проверке на прочность сферической оболочки с отверстием в вершине обычно можно не считаться с перераспределением напряжений, вызываемым наличием отверстия, и пользоваться результатами, полученными для оболочек без отверстия.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)