§ 28. Об устойчивости плоской формы изгиба полосы

Если полосу, имеющую узкое прямоугольное поперечное сечение, изгибать в плоскости ее наибольшей жесткости, то можно, постепенно увеличивая изгибающие силы, достигнуть предела, за которым плоская форма изгиба перестает

быть устойчивой и полоса выпучивается в направлении легчайшего изгиба. С этим явлением приходится считаться в целом ряде технических задач, и мы его здесь изучим при различных способах нагрузки изгибаемой полосы.

В качестве простейшего примера рассмотрим частый изгиб полосы парами сил, приложенными по концам (рис. 59, а). Предположим, что концы полосы закреплены таким образом, что концевые сечения свободно могут поворачиваться относительно осей, совпадающих с главными осями инерции сечений. Вращение же сечений относительно оси z невозможно.

Рис. 59.

В таком случае путем увеличения моментов можно достигнуть выпучивания полосы, представленного на рис. 59, б. Легко видеть, что это выпучивание должно сопровождаться также некоторым скручиванием полосы. Для определения критического значения изгибающего момента воспользуемся здесь первым методом исследования устойчивости. Допустим, что под действием получилось весьма малое выпучивение, представленное на рисунке. Составим дифференциальные уравнения равновесия для этой искривленной формы и из условий на концах найдем то значение при котором предположенная нами искривленная форма равновесия может иметь место. Здесь мы будем иметь дело с искривлением полосы в двух главных плоскостях, сопровождающимся кручением, и в дальнейшем нам выгодно воспользоваться результатами, полученными раньше при исследовании деформаций кривого бруса (§ 19). Нужно только в найденных там формулах везде положить начальную кривизну и равной нулю.

Возьмем неподвижную систему координат и обозначим через перемещения точек оси полосы в направлении Кроме того, в каждом поперечном сечении выпучившейся полосы можем построить систему осей х, у, z так, что ось z направлена по касательной к изогнутой оси полосы, оси совпадают с новыми направлениями главных осей переместившегося поперечного сечения.

Направление осей выбрано так, что при вращении от х к у завинчивание происходит в направлении оси z. Угол между плоскостями мы, как и прежде, будем обозначать через В таком случае при условии весьма малых перемещений мы на основании рис. 59, в, г легко составим таблицу значений

косинусов углов, составляемых осями х, у, z и :

Оставляя для кривизны, кручения и жесткостей при изгибе и кручении те же обозначения, что и в случае кривого стержня, можем на основании формул (97) и (98) (§ 19) написать

Здесь и моменты сил, приложенных к правой части полосы относительно осей Момент считаем положительным, ели соответствующее ему вращение сопровождается завинчиванием в направлении положительной оси.

В рассматриваемом случае чистого изгиба момент сил, приложенных к правой части полосы, равен и представится при нашем правиле знаков вектором (см. рис. 59, в). Проектируя этот вектор на оси х, у, z, при помощи приведенной выше таблицы косинусов получаем

Подставляя эти значения в формулы (97), мы на основании (98) приходим к такой системе дифференциальных уравнений равновесия:

Дифференцируя третье уравнение по исключая потом, при помощи второго уравнения, величину приходим к такому дифференциальному уравнению;

откуда

Так как по условиям закрепления угол равен нулю по концам полосы, то, чтобы удовлетворить условию на левом конце, нужно положить Условие на правом конце приводит нас к такому трансцендентному уравнению: Первый корень этого уравнения и дает нам искомое критическое значение для изгибающего момента

Этому значению момента будет соответствовать форма равновесия, приведенная на рис. 59 и состоящая из одной полуволны. Дальнейшие корни трансцендентного уравнения соответствуют формам равновесия с двумя, тремя и т. д. полуволнами. Все эти формы, как и в случае продольного изгиба, неустойчивы и не имеют практического значения. Заметим, что формула (120) может быть применима к расчетам лишь в том случае, если вычисленные по напряжения не превосходят предела упругости материала.

Рис. 60.

В качестве второго примера рассмотрим изгиб полосы силой, приложенной на конце (рис. 60,а). Постепенно увеличивая силу можно достигнуть предела, за которым начинается искривление полосы в направлении легчайшего изгиба (рис. 60, б). Для определения воспользуемся тем же приемом, что предыдущем случае. Возьмем искривленную форму равновесия (рис. 60, в, г) и «оставим соответствующие дифференциальные уравнения. В какой-либо точке оси стержня моменты изгибающей силы относительно осей, параллельных осям представятся так:

Здесь через обозначено перемещение и для конца полосы.

При помощи таблицы косинусов легко переходим к моментам относительно осей х, у, о и, отбрасывая малые величины высших порядков, получаем

Вставляя это в формулы (97), мы при помощи (98) приходим к такой системе уравнений:

Дифференцируя третье из этих уравнений по z и исключая при помощи второго уравнения величину находим

или, вводя новую переменную и полагая для сокращения получаем

Решив это уравнение при помощи бесконечных рядов, найдем

Условия на концах полосы следующие. У левого заделанного конца угол должен обращаться в нуль, следовательно, при имеем

Рис. 61.

На другом конце полосы скручивающий момент обращается в нуль, так как точка приложения силы предполагается совпадающей с концом оси полосы. В таком случае при

Для выполнения этого последнего условия нужно в общем интеграле (с) положить и мы получим для выражение

Чтобы было удовлетворено условие у заделанного конца, должно иметь место венство

Для суммы ряда, стоящего в левой части уравнения, имеются готовые таблицы при помощи которых легко находятся нужный нам наименьший корень уравнения и соответствующее критическое значение силы

Подобным же образом мы можем решить вопрос об устойчивости полосы с опертыми концами, изгибаемой силою приложенной посередине (рис. 61, а).

Если закрепления препятствуют лишь вращению концов относительно оси то изогнутая ось для первой искривленной формы выпучившейся полосы имеет вид, представленный на рис. 61, б. Опорные реакции, равные будут приложены в точках

В какой-либо точке оси стержня моменты опорной реакции относительно осей, параллельных осям представятся так (см. рис. 61, в):

При помощи таблицы косинусов находим следующие значения моментов относительно осей х, у, z:

На основании (97) и (98) приходим к такой системе уравнений:

Из уравнений второго и третьего, как и прежде, получаем

Решение этого уравнения приводит нас к такому значению критической нагрузки:

Покажем на этом примере, как можно получить величину критической нагрузки на основании рассмотрения энергии системы.

При выпучивании полосы из плоскости ее наибольшей жесткости к энергии изгиба в этой плоскости присоединяется энергия изгиба в плоскости, ей перпендикулярной, и энергия кручения В то же время, благодаря выпучиванию полосы, изгибающий груз несколько опускается и совершает работу Критическое значение изгибающей силы — это наименьшее из тех ее значений, при которых удовлетворено условие

Для энергии деформации мы воспользуемся известными формулами

Опускание груза при выпучивании полосы найдем из таких соображений. Выделим у точки (см. рис. 61, б) бесконечно малый элемент длиною Если средину полосы будем удерживать неподвижно, а концам дадим возможность перемещаться, то при искривлении выделенного элемента в плоскости xz правый конец оси полосы опишет дугу

Так как плоскость xz составляет с плоскостью угол то указанному перемещению конца будет соответствовать повышение его над точкой приложения силы на величину

Суммируя эти элементарные повышения, находим для опускания точки приложения груза такое выражение:

Уравнение (е) можно будет переписать так:

или, исключая отсюда при помощи второго из уравнении (а), получаем

Так как концы полосы не поворачиваются относительно оси то самое общее выражение для напишется так:

Если ограничиться Первым членом этого ряда и вставить его в уравнение (g), то в качестве первого приближения получим

Сравнение этого результата с формулой (122) показывает, что погрешность первого приближения составляет около 1,5%. Если бы мы взяли два члена в ряде то получили бы второе приближение, имеющее четыре верных знака. Следовательно, применение второго метода исследования устойчивости имеет в рассматриваемом случае значительные преимущества. Сравнительно сложное решение уравнения при помощи бесконечных рядов заменяется вычислением нескольких квадратур.

Задача об устойчивости полосы решена для целого ряда случаев и выражения для критической нагрузки имеют везде один и тот же вид:

Для каждого частного случая приходится лишь вычислить соответствующее значение коэффициента Некоторые численные результаты мы приводим ниже.

1. Для полосы с одним заделанным и другим свободным концами, нагруженной равномерной нагрузкой интенсивности имеем

2. Для той же полосы при изгибе ее силой приложенной на конце выше центра тяжести поперечного сечения на а, имеем такую приближенную формулу

3. При изгибе полосы с опертыми концами (см. рис. 61) равномерно распределенной нагрузкой получим

4. При изгибе полосы с опертыми концами (см. рис. 61) силой приложенной не посередине пролета, величина коэффициента в формуле

будет зависеть от положения точки приложения силы. Обозначая через а отношение расстояния точки приложения силы от ближайшего конца к пролету балки, получаем для ряд значений, которые приведены в табл. 12.

Таблица 12 (см. скан)

Мы видим, что перемещение силы в пределах средней трети пролета полосы мало влияет на величину критической нагрузки.

При переходе от критической нагрузки к критическим напряжениям придется наибольшее значение изгибающего момента, соответствующего критической нагрузке, делить на момент сопротивления полосы, т. е. на величину где высота поперечного сечения полосы. Полагая

и вводя обозначение

представляем величину критического напряжения в случае чистого изгиба [формула (120)] так:

Для случая изгиба полосы силой, приложенной на конце [формула (121)], получим

Для изгиба полосы с одним заделанным концом равномерной нагрузкой [формула (123)] будем иметь

Для полосы с опертыми концами, нагруженной посередине (см. рис. 61), найдем, сохраняя прежнее обозначение

Для той же полосы, равномерно нагруженной [формула (125)], имеем