§ 2. Компоненты напряжения

Предположим, что на данное тело А В (рис. 1) действует система взаимно уравновешивающихся поверхностных и объемных сил. Под влиянием этих сил тело деформируется. Положим, что деформация прекратилась и все частицы тела пришли в равновесие. Такое состояние тела под действием приложенных к нему внешних сил назовем напряженным состоянием. Рассечем мысленно тело поверхностью на две части и рассмотрим условия равновесия одной из этих частей, например части А. Те внешние силы которые непосредственно приложены к части А, в общем случае не представляют собой системы сил взаимно уравновешивающихся. Между тем рассматриваемая часть А как часть тела, находящегося в равновесии, также будет в равновесии. Для обеспечения этого равновесия необходимо допустить, что по сечению действуют некоторые силы, уравновешивающие силы приложенные к части А. Эти силы представляют не что иное, как действие части тела В на часть А. Назовем их внутренними силами упругости и будем считать, что они

непрерывно распределены по сечению В простейшем случае растяжения призматического стержня силами, действующими по его оси, внутренние силы упругости распределяются, как мы знаем из элементарного курса сопротивления материалов, равномерно по поверхности плоского поперечного сечения, и, пользуясь уравнениями статики, можно легко определить равнодействующую внутренних сил упругости, приходящихся на единицу поверхности поперечного сечения. Эту равнодействующую, характеризующую интенсивность внутренних сил упругости, называют напряжением.

В общем случае внутренние силы упругости распределяются по сечению неравномерно, и для установления их интенсивности в какой-либо точке О поступим следующим образом. Выделим у точки О из поверхности малую площадку Внутренние силы упругости, приходящиеся на эту площадку, можно привести к одной равнодействующей приложенной в точке О, и к паре сил Будем стягивать контур, ограничивающий площадку таким образом, чтобы точка О все время оставалась внутри контура. Площадка будет при этом беспредельно уменьшаться, а вместе с тем будут стремиться к нулю величины Предел отношения характеризующий интенсивность внутренних сил упругости, представляет величину напряжения в точке О по площадке Кроме величины напряжению приписывают также определенное направление. Именно за направление напряжения в точке О по площадке принимают направление равнодействующей Что касается отношения то мы предположим, что при беспредельном уменьшении площадки оно стремится к нулю.

Рис. 1.

Если исходить из молекулярной теории строения упругого твердого тела, то принятое допущение относительно равенства нулю предела отношения можно получить путем следующих рассуждений. Силы упругости по поверхности являются результатом действия молекул части тела В на молекулы рассматриваемой части А. На выделенную площадку будут приходиться силы, линии действия которых пересекают эту площадку. Если предположить, что силы взаимодействия между двумя молекулами направлены по линии, соединяющей эти молекулы, то приведя все силы, пронизывающие площадку к силе и паре сил, найдем, что величина пары будет величиной высшего порядка малости по сравнению с величиной силы, так как при составлении момента придется силу множить на бесконечно малое плечо.

В предыдущих рассуждениях мы взяли секущую поверхность совершенно произвольно, поэтому произвольным является и направление элементарной площадки для которой определили напряжение в точке О. Через точку О можно провести в различных направлениях бесчисленное множество площадок; для каждой из них напряжение будет иметь свои определенные величину и направление. Поэтому, говоря о напряжении в точке О, необходимо всегда указывать, к какой именно площадке это напряжение относится. Направление площадки будем определять направлением ее нормали причем условимся эту нормаль направлять наружу из той части тела, равновесие которой мы изучаем (внешняя нормаль). В рассматриваемом случае (см. рис. 1) нормаль будет направлена из заштрихованной части А в незаштрихованную часть В.

Направление напряжения вообще не совпадает с направлением нормали, и в дальнейшем мы его часто будем разлагать на две составляющие. Одну составляющую будем направлять по нормали к площадке а другую — в плоскости площадки. Таким образом мы получим нормальное и касательное напряжения по площадке Если нормальное напряжение имеет направление

внешней нормали, оно стремится вызвать растяжение материала, в противном случае оно вызывает сжатие. Растягивающее напряжение условимся в дальнейшем считать положительным, а сжимающее — отрицательным. Касательное напряжение стремится произвести сдвиг или срез по площадке поэтому его иногда называют сдвигающим или срезывающим напряжением.

Иногда напряжение по площадке с нормалью задают величинами трех его проекций на прямоугольные координатные оси х, у, z. В таком случае условимся эти проекции обозначать так: где обозначает направление нормали той площадки по которой действует напряжение. Тогда проекция напряжения по какой-либо площадке на направление внешней нормали к этой площадке представится выражением

Составляющие напряжения по площадке, параллельной одной из координатных плоскостей, например плоскости xz, запишутся на основании принятых обозначений так: Индекс у показывает, что направление нормали к выбранной площадке совпадает с направлением оси Составляющая представляет собой нормальное напряжение по взятой площадке; две составляющие касательного напряжения по той же площадке. Мы выше условились относительно знака нормальных напряжений. Что касается знака касательных напряжений, то для площадок, параллельных координатным осям, будем придерживаться такого правила: если внешняя нормаль к взятой площадке совпадает с положительным направлением одной из координатных осей, то положительные направления составляющих касательного напряжения считаются совпадающими с положительными направлениями двух других осей. При обратном направлении внешней нормали приходится изменить также и положительные направления касательных напряжений.

Обозначения, принятые для напряжений, можно использовать также и для внешних сил, распределенных по поверхности тела. Если элементарная площадка совпадает с поверхностью тела, то поверхностные силы, приложенные к этой площадке, будут играть такую же роль, как внутренние силы упругости в наших прежних рассуждениях. Составляющие будут характеризовать интенсивность распределенных поверхностных сил, приложенных к выделенной на поверхности тела площадке.