§ 16. Дальнейшее сокращение числа упругих постоянных

Выше уже отмечалось, что число упругих постоянных, равное в общем случае 21, сокращается, если в строении тела имеется какая-либо симметрия. Возьмем, например, случай, когда строение тела таково, что оно обладает в отношении упругих свойств плоскостью симметрии, и примем эту плоскость за плоскость Тогда выражение (27) для потенциальной энергии должно остаться без изменения, если мы направление оси z заменим направлением прямо

противоположным. При такой замене придется переменить знаки у координаты составляющей перемещения Следовательно, как видно из (17), изменятся знаки у составляющих деформации Чтобы выражение для V осталось неизменным, необходимо положить в нем равными нулю коэффициенты тех членов, куда входят в первой степени, за исключением члена, содержащего произведение Таким образом, получаем

Число упругих постоянных сокращается до 13.

Если тело имеет три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, то принимая эти плоскости за плоскости координат, заключаем, что выражение для потенциальной энергии не должно изменяться, если мы любой из трех осей дадим прямо противоположное направление. При этом, как видно из (17), будут изменяться знаки .

Чтобы перемена знаков не отражалась на значении необходимо к равенствам (а) присоединить следующие:

Таким образом, число упругих постоянных сокращается до девяти и выражение для потенциальной энергии принимает вид

Чъгг

Этот случай симметрии соответствует кристаллам, для которых форма кристаллизации — прямоугольный параллелепипед.

Мы можем получить дальнейшее упрощение, если допустим, что по отношению к каждой из плоскостей симметрии упругие свойства тела одинаковы. В таком случае выражение (с) для потенциальной энергии не должно изменяться при перемене оси х на у, у на z, или на 2. Этому условию мы удовлетворим, если положим Тогда

и составляющие напряжения выразятся через составляющие деформации:

Здесь мы имеем только три упругие постоянные. Примером такой симметрии могут служить кристаллы кубической формы, в частности кристаллы каменной соли.

В случае изотропного материала выражение для потенциальной энергии должно быть одно и то же при любом повороте координатных осей. Если мы повернем нашу систему относительно оси z на бесконечно малый угол то составляющие деформации для этих новых осей на основании формул (16) и (18) представятся так:

Выражение (d) для потенциальной энергии не должно изменяться, если вместо подставим Выполняя эту подстановку и отбрасывая малые величины высших порядков, приходим к следующему выражению:

Чтобы выражение потенциальной энергии не изменялось с поворотом осей, нужно положить Тогда выражения для составляющих напряжения запишутся так: