§ 8. Основные элементарные функции. Элементарные функции

Основными элементарными функциями называются следующие аналитическим способом заданные функции.

I. Степеннйя функция , где а — действительное число.

II. Показательная функция: , где а — положительное число, не равное единице.

III. Логарифмическая функция: , где основание логарифмов а — положительное число, не равное единице.

IV. Тригонометрически функции:

V. Обратные тригонометрические функции:

Рассмотрим области определения и графики основных элементарных функций.

Степенная функция,

1. а — целое положительное число. Функция определена в бесконечном интервале Графики функции в этом случае при некоторых значениях а имеют вид, изображенный на рис. 6 и 7.

Рис. 6.

Рис. 7.

Рис. 8.

Рис. 9.

Рис. 10.

Рис. 11.

2. а — целое отрицательное число. В этом случае функция определена при всех значениях кроме х = 0. Графики функций при некоторых значениях а имеют вид, изображенный на рис. 8 и 9.

На рис. 10, 11, 12 изображены графики степенной функции при дробно-рациональных значениях а.

Показательная функция, Эта функция определена при всех значениях х. График ее имеет вид, изображенный на рис. 13.

Логарифмическая функция, Эта функция определена при График ее изображен на рис. 14.

Тригонометрические функции. Независимая переменная в формулах и т.д. выражается в радианах.

Все перечисленные тригонометрические функции — периодические. Сформулируем общее определение периодической функции.

Рис. 12.

Определение 1. Функция y = f(x) называется периодической, если существует такое постоянное число С, от прибавления (или вычитания) которого к аргументу значение функции не изменяется: Наименьшее такое число называется периодом функции; в дальнейшем будем обозначать его 21. Из определения непосредственно следует, что есть периодическая функция с периодом Период также равен Период функций равен .

Рис. 13.

Рис. 14.

Функции определены при всех значениях функции определены всюду, кроме точек

функции определены при всех значениях кроме точек

Графики тригонометрических функций изображены на рис. 15—19.

Обратные тригонометрические функции будут нами подробно рассмотрены позднее.

Введем, далее, понятие функции от функции. Если у является функцией от и в свою очередь зависит от переменной х, то у также зависит от х. Пусть Получаем

функцию у от х:

Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Рис. 15.

Рис. 16.

Рис. 17.

Рис. 18.

Пример 1. Пусть Функция является сложной функцией х.

Замечание. Областью определения функции является или вся область определения функции и или та ее часть, в которой определяются значения не выходящие из области определения функции .

Пример 2. Областью определения функции является отрезок [—1, 1], так как при и, следовательно, функция У и не определена при этих значениях функция определена при всех значениях . Графиком этой функции является верхняя половина окружности с центром в начале координат и радиусом единица.

Рис. 19.

Операция «функция от функции» может производиться не один, а любое число раз. Например, функция получается в результате следующих операций (определения следующих функций):

Определим, далее, понятие элементарной функции.

Определение 2. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой вида , где справа стоящее выражение составлено из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

Рис. 20.

На основании определения следует, что элементарные функции являются функциями, заданными аналитически.

Примеры элементарных функций:

Пример неэлементарной функции:

Функция не является элементарной» так как количество операций, которое нужно произвести для получения у, увеличивается с увеличением я, т. е. не является ограниченным.

Замечание. Функция, изображенная на рис. 20, является элементарной, хотя она и задается с помощью двух формул:

Эту функцию можно задать и одной формулой:

для . (См. также упражнения 130—144 к гл. V.)