§ 7. О кратных корнях многочлена

Если в разложении многочлена степени на линейные множители

некоторые линейные множители окажутся одинаковыми, то их можно объединить, и тогда разложение многочлена на множители будет иметь вид

При этом

В этом случае корень называется корнем кратности или -кратным корнем, корнем кратности и т. д.

Пример. Многочлен разлагается на следующие линейные множители: Это разложение можно написать так: Корень - 2-двукратный корень, простой корень.

Если многочлен имеет корень а кратности то мы будем считать, что многочлен имеет одинаковых корней. Тогда из теоремы о разложении многочлена на линейные множители получается следующая теорема.

Всякий многочлен степени имеет ровно корней (-вительных или комплексных).

Замечание. Все, что говорилось о корнях многочлена

можно, очевидно, сформулировать в терминах корней алгебраического уравнения

Докажем, далее, следующую теорему.

Теорема. Если является для многочлена корнем кратности то для производной это число является корнем кратности

Доказательство. Если есть корень кратности то из формулы () следует:

где не обращается в нуль при Дифференцируя, получим

Обозначим

Тогда

причем

т. е. есть корень кратности многочлена Из проведенного доказательства следует, что если то не является корнем производной

Из доказанной теоремы следует, что является корйем кратности для производной корнем кратности — 3 для производной корнем кратности 1 (простым корнем) для производной и не является корнем для производной т. е.

но