§ 24. Производные различных порядков от неявных функций и функций, заданных параметрически

1. Покажем на примере способ нахождения производных различных порядков от неявных функций.

Пусть неявная функция у от определяется равенством

Дифференцируем по все члены этого равенства, помня, что у есть функция от

отсюда находим

Последнее равенство снова дифференцируем по х (имея в виду, что у есть функция от х):

Подставляем сюда вместо производной ее выражение из равенства (2), получаем

или после упрощения

Из уравнения (1) следует, что поэтому вторую производную можно представить в виде

Дифференцируя по последнее равенство, найдем и т. д.

2. Рассмотрим теперь задачу о нахождении производных высших порядков от функции, заданной параметрически. Пусть функция у от задана параметрическими уравнениями

причем функция на отрезке имеет обратную функцию

В § 18 было доказано, что в этом случае производная определяется равенством

Для нахождения второй производной дифференцируем по равенство (4), имея в виду, что t есть функция от х:

но

Подставляя последние выражения в формулу (5), получим:

Последней формуле можно придать следующий, более компактный вид:

Аналогичным образом можно найти производные и т.д.

Пример. Функция от х задана параметрически:

Наити производные Решение.