§ 5. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен

I. Рассмотрим интеграл

Преобразуем предварительно трехчлен, стоящий в знаменателе, представив его в виде суммы или разности квадратов:

где обозначено . Знак плюс или минус берется в зависимости от того, будет ли выражение, стоящее слева, положительным или отрицательным, т. е. будут ли корни трехчлена комплексными или действительными.

Таким образом, интеграл принимает вид

Сделаем в последнем интеграле замену переменной Тогда получим

Это — табличные интегралы (см. формулы 11 и 12).

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение.

Делаем замену переменной Подставляя в интеграл, получаем табличный интеграл

Подставляя вместо t его выражение через окончательно находим

II. Рассмотрим интеграл более общего вида

Произведем тождественное преобразование подынтегральной функции:

Последний интеграл представим в виде суммы двух интегралов. Вынося постоянные множители за знак интегралов, получим

Второй интеграл есть интеграл вычислять который мы умеем. В первом интеграле сделаем замену переменной

Следовательно,

Таким образом, окончательно получаем

Пример 2. Вычислить интеграл

Применим указанный прием:

III. Рассмотрим интеграл

С помощью преобразований, рассмотренных в п. I, этот интеграл сводится, в зависимости от знака а, к табличным интегралам вида

которые уже рассмотрены в таблице интегралов (см. формулы 13 и 14).

IV. Интеграл вида

вычисляется с помощью следующих преобразований, аналогичных тем, которые были рассмотрены в п. II:

Применив к первому из полученных интегралов подстановку , получим

Второй же интеграл был рассмотрен нами в п. III настоящего параграфа.

Пример 3.