§ 5. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен
I. Рассмотрим интеграл
Преобразуем предварительно трехчлен, стоящий в знаменателе, представив его в виде суммы или разности квадратов:
где обозначено 
. Знак плюс или минус берется в зависимости от того, будет ли выражение, стоящее слева, положительным или отрицательным, т. е. будут ли корни трехчлена 
комплексными или действительными.
Таким образом, интеграл 
принимает вид
Сделаем в последнем интеграле замену переменной 
Тогда получим
Это — табличные интегралы (см. формулы 11 и 12).
Пример 1. Вычислить интеграл 
Решение.
Делаем замену переменной 
Подставляя в интеграл, получаем табличный интеграл
Подставляя вместо t его выражение через 
окончательно находим
II. Рассмотрим интеграл более общего вида
Произведем тождественное преобразование подынтегральной функции:
Последний интеграл представим в виде суммы двух интегралов. Вынося постоянные множители за знак интегралов, получим
Второй интеграл есть интеграл 
вычислять который мы умеем. В первом интеграле сделаем замену переменной
Следовательно,
Таким образом, окончательно получаем
Пример 2. Вычислить интеграл 
Применим указанный прием:
III. Рассмотрим интеграл
С помощью преобразований, рассмотренных в п. I, этот интеграл сводится, в зависимости от знака а, к табличным интегралам вида
которые уже рассмотрены в таблице интегралов (см. формулы 13 и 14).
IV. Интеграл вида
вычисляется с помощью следующих преобразований, аналогичных тем, которые были рассмотрены в п. II:
Применив к первому из полученных интегралов подстановку 
, получим
Второй же интеграл был рассмотрен нами в п. III настоящего параграфа.
Пример 3.
