§ 14. О функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции

В § 1 гл. X мы уже отмечали (без доказательства), что всякая функция непрерывная на интервале имеет на этом интервале первообразную, т. е. существует такая функция что Однако не всякая первообразная, даже тогда, когда она существует, выражается в конечном виде через элементарные функции.

Рис. 208.

Рис. 209.

Таковы первообразные, выраженные интегралами и многие другие.

Во всех подобных случаях первообразная представляет собой, очевидно, некоторую новую функцию, которая не сводится к комбинации конечного числа элементарных функций.

Так, например та из первообразных которая обращается в нуль при называется функцией Лапласа и обозначается . Таким образом, если

Эта функция хорошо изучена. Составлены подробные таблицы ее значений при различных значениях х. Как это делается — мы увидим в § 21 гл. XVI (т. II). На рис. 208 и 209 изображены график подынтегральной функции и график функции Лапласа

Та из первообразных

которая обращается в нуль при называется эллиптическим интегралом и обозначается

Для этой функции также составлены таблицы значений при различных значениях х.