§ 4. Схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной

На основании предыдущего параграфа можно сформулировать следующее правило для исследования дифференцируемой функции

на максимум и минимум:

1. Ищем первую производную функции, т. е.

2. Находим критические значения аргумента для этого:

а) приравниваем первую производную нулю и находим действительные корни полученного уравнения

б) находим значения при которых производная терпит разрыв.

3. Исследуем знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным в интервале между двумя критическими точками, то для исследования знака производной слева и справа, например, от критической точки достаточно определить знак производной в точках где ближайшие критические точки).

4. Вычисляем значение функции при каждом критическом значении аргумента.

Таким образом, имеем следующее схематическое изображение возможных случаев:

Пример 1. Исследовать на максимум и минимум функцию

Решение. 1) Находим первую производную:

2) Находим действительные корни производной:

Следовательно,

Производная всюду непрерывна. Значит, других критических точек нет.

3) Исследуем критические значения и результаты исследования фиксируем на рис. 107.

Исследуем первую критическую точку Так как то

Значит, при переходе (слева направо) через значение производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, при функция имеет максимум, а именно:

Исследуем вторую критическую точку

Значит, при переходе через значение производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, при функция имеет минимум, а именно;

На основании проведенного исследования строим график функции (рис. 107), Пример 2, Исследовать на максимум и минимум функцию

Решение. 1) Находим первую производную:

2) Находим критические значения аргумента: а) находим точки, в которых производная обращается в нуль:

б) находим точки, в которых производная терпит разрыв (в данном случае обращается в бесконечность).

Рис. 107.

Рис. 108.

Такой точкой будет, очевидно, точка

(Отметим, что при рассматриваемая функция определена и непрерывна.) Других критических точек нет.

3) Исследуем характер полученных критических точек. Исследуем точку Заметив, что

заключаем, что при функция имеет минумум. Значение функции в точке минимума равно

Исследуем вторую критическую точку Заметив, что

заключаем, что при функция имеет максимум причем о График исследуемой функции изображен на рис. 108.