§ 3. Некоторые свойства неопределенного интеграла

Теорема 1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов:

Для доказательства найдем производные от левой и правой частей этого равенства. На основании равенства (4) § 1 находим

Таким образом, производные от левой и правой частей равенства (1) равны между собой, т.. е. производная от любой первообразной, стоящая в левой части, равняется производной от любой функции, стоящей в правой части равенства. Следовательно, по теореме § 1 любая функция, стоящая в левой части равенства (1), отличается от любой функции, стоящей в правой части равенства (1), на постоянное слагаемое. В этом смысле и нужно понимать равенство (1).

Теорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е. если , то

Для доказательства равенства (2) найдем производные от левой и правой его частей:

Производные от правой и левой частей равны, следовательно, как и в равенстве (1), разность двух любых функций, стоящих слева и справа, есть постоянная. В этом смысле и следует понимать равенство (2).

При вычислении неопределенных интегралов бывает полезно иметь в виду следующие правила.

1. Если

то

Действительно, дифференцируя левую и правую части равенства (3), получим

Производные от правой и левой частей равны, что и требовалось доказать.

II. Если

ТО

то

III. Если

то

Равенства (4) и (5) доказываются дифференцированием правой и левой частей равенств.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 4.

Пример 5.