§ 2. Предел функции

В этом параграфе будем рассматривать некоторые случаи изменения функции при стремлении аргумента к некоторому пределу а или к бесконечности.

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки а или в некоторых точках этой окрестности. Функция y = f(x) стремится к пределу при стремящемся к если для каждого положительного числа , как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число , что для всех отличных от а и удовлетворяющих

неравенству имеет место неравенство Если b есть предел функции при то пишут

или

Если при а, то на графике функции y = f(x) это иллюстрируется следующим образом (рис. 31): так как из неравенства следует неравенство , то это значит, что для всех точек отстоящих от точки а не далее чем на , точки М графика функции y = f(x) лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми

Замечание 1. Предел функции при можно определить и следующим образом.

Рис. 31.

Пусть переменная величина принимает значения так (упорядочена так), что если то есть последующее предыдущее значение; если же то есть последующее, предыдущее значение.

Другими словами, из двух точек числовой прямой последующей является та точка, которая ближе к точке а; при равных расстояниях последующая — та, которая правее от точки а.

Пусть упорядоченная таким образом переменная величина стремится к пределу или .

Рассмотрим, далее, переменную величину y = f(x). При этом будем считать, как и всюду в дальнейшем, что из двух значений функции последующим является то значение, которое соответствует последующему значению аргумента.

Если определенная так переменная величина у при стремится к некоторому пределу b, то будем писать

и говорить, что функция y = f(x) стремится к пределу b при

Легко доказать, что оба определения предела функции эквивалентны.

Замечание 2. Если стремится к пределу при стремящемся к некоторому числу а так, что принимает только значения, меньшие а, то пишут и называют пределом функции в точке а слева. Если принимает только значения, большие а, то пишут и называют пределом функции в точке а справа (рис. 32). Вместо обычно пишут

Рис. 32.

Можно доказать, что если предел справа и предел слева существуют и равны, т. е. , то b и будет пределом в смысле данного выше определения предела в точке а. И обратно, если существует предел функции b в точке а, то существуют пределы функции в точке а справа и слева и они равны.

Пример 1. Докажем, что Действительно, пусть задан произвольное для того чтобы выполнялось неравенство необходимо выполнение следующих неравенств: Таким образом, при любом 8 для всех значений удовлетворяющих неравенству значение функции будет отличаться от меньше чем на . А это и значит, что есть предел функции при

Замечание 3. Для существования предела функции при дне требуется, чтобы функция была определена в точке При нахождении предела рассматриваются значения функции в окрестности точки а, отличные от это положение наглядно иллюстрируется следующим примером.

Пример 2. Докажем, что Здесь функция не определена при

Нужно доказать, что при произвольном найдется такое , что будет выполняться неравенство

если Но при неравенство (1) эквивалентно неравенству

или

Таким образом, при произвольном неравенство (1) будет выполняться, если будет выполняться неравенство . А это и значит, что данная функция при имеет пределом число 4.

Рассмотрим некоторые случаи изменения функции при Определение 2. Функция стремится к пределу b при если для каждого произвольно малого положительного числа можно указать такое положительное число N, что для всех значений удовлетворяющих неравенству будет выполняться неравенство

Пример 3. Докажем, что или, в иной записи,

Нужно доказать, что при произвольном будет выполняться неравенство

если только причем N определяется выбором . Неравенство (3) эквивалентно следующему неравенству: , которое будет выполняться, если Это и значит, что

Рис. 33.

Зная смысл символов , очевидным является и смысл выражений

символически записываются так: