§ 14. Обратные тригонометрические функции и их дифференцирование

1) Функция .

Рассмотрим функцию

и построим ее график, напротив ось вертикально вверх (рис. 71). Эта функция определена в бесконечном интервале . На отрезке функция — возрастающая, ее значения заполняют отрезок Поэтому функция

х = sin у имеет обратную, которую обозначают так:

Эта функция определена на отрезке ее значения заполняют отрезок . На рис. 71 график функции изображен жирной линией.

Рис. 71.

Теорема 1. Производная от функции равна т. е.

Доказательство. На основании равенства (1) находим

По правилу дифференцирования обратной функции

но , поэтому перед корнем берется знак плюс, так как функция принимает значения на отрезке и, следовательно, .

Пример 1.

Пример 2.

2) Функция .

Как и выше, рассмотрим функцию

и построим ее график, направив ось вверх (рис. 72). Эта функция определена в бесконечном интервале На отрезке функция — убывающая и имеет обратную, которую обозначают так:

Эта функция определена на отрезке Значения функции заполняют отрезок На рис. 72 график функции изображен жирной линией.

Рис. 72.

Теорема 2. Производная от функции равна , т. е.

Доказательство. На основании равенства (2) находим

Следовательно,

Но , поэтому

В равенстве перед корнем берется знак плюс, так как значения функции заполняют отрезок и, следовательно,

Пример 3.

3) Функция

Рассмотрим функцию

и построим ее график (рис. 73). Эта функция определена при всех значениях у, кроме значений

На интервале функция - возрастающая и имеет обратную, которую обозначают так:

Эта функция определена на интервале Значения функции заполняют интервал На рис. 73 график функции у = arctgx изображен жирной линией.

Теорема 3. Производная от функции arctg х равна т. е.

Доказательство. На основании равенства (3) находим

Следовательно,

но

так как то окончательно получаем:

Пример 4.

4. Функция

Рассмотрим функцию

Рис. 73.

Эта функция определена при всех значениях у, кроме значений График этой функции изображен на рис. 74.

Рис. 74.

На интервале функция — убывающая и имеет обратную, которую обозначают так:

Эта функция, следовательно, определена на бесконечном интервале ее значения заполняют интервал

Теорема 4. Производная функция равна — т. е.

Доказательство. Из (4) получаем

Следовательно, Но Поэтому