§ 6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке . Тогда на этом отрезке функция достигает наибольшего значения (см. § 10 гл. II). Будем предполагать, что на данном отрезке функция имеет конечное число критических точек. Если наибольшее значение достигается внутри отрезка то очевидно, что это значение будет одним из максимумов функции (если имеется несколько максимумов), а именно, наибольшим максимумом. Но может случиться, что наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка.

Рис. 113.

Итак, функция на отрезке достигает своего наибольшего значения либо на одном из концов этого отрезка, либо в такой внутренней точке этого отрезка, которая является точкой максимума. То же самое можно сказать и о наименьшем значении функции: оно достигается либо на одном из концов данного отрезка, либо в такой внутренней точке, которая является точкой минимума.

Из предыдущего вытекает следующее правило: если требуется найти наибольшее значение непрерывной функции на отрезке то надо:

1) найти все максимумы функции на отрезке;

2) определить значения функции на концах отрезка, т.е. вычислить из всех полученных выше значений функции выбрать наибольшее; оно и будет представлять собой наибольшее значение функции на отрезке.

Аналогичным образом следует поступать и при определении наименьшего значения функции на отрезке.

Пример. Определить на отрезке [-3; 3/2] наибольшее и наименьшее значения функции

Решение. 1) Находим максимумы и минимумы функции на отрезке тогда Следовательно, в точке имеет место мунимум: Далее, , Следовательно, в точке имеет место максимум:

Определяем значение функции на. концах отрезка: Таким образом, наибольшее значение рассматриваемой функции на отрезке есть а наименьшее значение есть График рассматриваемой функции изображен на рис. 113.