§ 23. Дифференциалы различных порядков
Пусть имеем функцию y = f(x), где
независимая переменная. Дифференциал этой функции
есть некоторая функция от
но от
может зависеть только первый сомножитель
второй же сомножитель
является приращением независимой переменной
и от значения этой переменной не зависит. Так как
есть функция от
то мы имеем право говорить о дифференциале этой функции.
Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается через
. Найдем выражение второго дифференциала. В силу общего определения дифференциала имеем
. Так как
от
не зависит, то
при дифференцировании выносится за. знак производной, и мы получаем
Принято, записывая степень дифференциала, опускать скобки; так, например, вместо
принято писать
подразумевая под этим квадрат выражения
вместо
пишут
и т. д.
Третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется дифференциал от ее второго дифференциала:
Вообще, дифференциалом
порядка называется первый дифференциал от дифференциала
порядка:
Пользуясь дифференциалами различных порядков, производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:
Замечание. Равенства (1) и
верны только для того случая, когда
является независимой переменной. Действительно, пусть имеем сложную функцию
Мы видели, что дифференциал первого порядка имеет инвариантную форму, независимо от того, будет ли и независимой переменной или функцией от
Второй дифференциал и последующие дифференциалы этим свойством не обладают.
Действительно, на основании (3) и (4) получаем
. Но здесь
зависит от х, и потому мы получаем
или
Аналогичным образом находятся
и т. д.
Пример 1. Найти
сложной функции
Решение.
Далее, по формуле (5) получаем