§ 23. Дифференциалы различных порядков

Пусть имеем функцию y = f(x), где независимая переменная. Дифференциал этой функции есть некоторая функция от но от может зависеть только первый сомножитель второй же сомножитель является приращением независимой переменной и от значения этой переменной не зависит. Так как есть функция от то мы имеем право говорить о дифференциале этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается через . Найдем выражение второго дифференциала. В силу общего определения дифференциала имеем . Так как от не зависит, то при дифференцировании выносится за. знак производной, и мы получаем Принято, записывая степень дифференциала, опускать скобки; так, например, вместо принято писать подразумевая под этим квадрат выражения вместо пишут и т. д.

Третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется дифференциал от ее второго дифференциала:

Вообще, дифференциалом порядка называется первый дифференциал от дифференциала порядка:

Пользуясь дифференциалами различных порядков, производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:

Замечание. Равенства (1) и верны только для того случая, когда является независимой переменной. Действительно, пусть имеем сложную функцию

Мы видели, что дифференциал первого порядка имеет инвариантную форму, независимо от того, будет ли и независимой переменной или функцией от

Второй дифференциал и последующие дифференциалы этим свойством не обладают.

Действительно, на основании (3) и (4) получаем . Но здесь зависит от х, и потому мы получаем или

Аналогичным образом находятся и т. д.

Пример 1. Найти сложной функции

Решение.

Далее, по формуле (5) получаем