ГЛАВА II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

§ 1. Предел переменной величины. Бесконечно большая переменная величина

В этом параграфе мы будем рассматривать упорядоченные переменные величины, изменяющиеся специальным образом, который определяется терминами «переменная величина стремится к пределу». Во всем дальнейшем курсе понятие предела переменной будет играть фундаментальную роль, так как с ним непосредственно связаны основные понятия математического анализа — производная, интеграл и др.

Определение 1. Постоянное число а называется пределом переменной величины если для каждого наперед заданного произвольно малого положительного числа можно указать такое значение переменной что все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству

Если число а есть предел переменной величины то говорят что стремится к пределу а, и пишут или

В геометрических терминах определение предела может быть сформулировано следующим образом:

Рис. 28.

Постоянное число а есть предел переменной, если для любой наперед заданной как угодно малой окрестности с центром в точке а и радиусом найдется такое значение что все точки, соответствующие последующим значениям переменной, будут находиться в этой окрестности (рис. 28). Рассмотрим несколько примеров переменных, стремящихся к пределу.

Пример 1. Переменная величина последовательно принимает значения

Докажем, что эта переменная величина имеет предел, равный единице. Имеем

Для любого все последующие значения переменной, начиная с номера где или будут удовлетворять неравенству что и требовалось доказать. Заметим, что здесь переменная величина стремится к пределу, убывая.

Пример 2. Переменная величина последовательно принимает значения

Эта переменная имеет предел, равный единице. Действительно,

Для любого , начиная с номера , удовлетворяющего соотношению из которого следует

все последующие значения будут удовлетворять соотношению Отметим, что здесь значения переменной величины то больше, то меньше предела. Переменная величина стремится к пределу, «колеблясь вокруг него».

Замечание 1. Как указывалось в § 3, гл. I, постоянную величину с часто рассматривают как переменную величину, все значения которой одинаковы:

Очевидно, что предел постоянной будет равен самой постоянной, так как всегда выполняется неравенство при любом .

Замечание 2. Из определения предела следует, что переменная величина не может иметь двух пределов.

Рис. 29.

Рис. 30.

Действительно, если , то должен удовлетворять сразу двум неравенствам

при произвольно малом , а это невозможно, если (рис. 29).

Замечание 3. Не следует думать, что каждая переменная величина имеет предел. Пусть переменная величина последовательно принимает следующие значения:

(рис. 30). При достаточно большом k значение и все последующие значения с четными номерами будут как угодно мало отличаться от единицы, а следующее значение и все последующие значения с нечетными номерами будут как угодно мало отличаться от нуля. Следовательно, переменная не стремится к пределу.

В определении предела указано, что если переменная величина стремится к пределу а, то а — постоянное число. Но понятие «стремится» употребляется и для характеристики другого способа изменений переменной величины, что видно из следующего определения.

Определение 2. Переменная стремится к бесконечности, если для каждого наперед заданного положительного числа М можно указать такое значение начиная с которого, последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству

Если переменная стремится к бесконечности, то ее называют бесконечно большой переменной величиной и пишут

Пример 3. Переменная величина х принимает значения

Это — бесконечно большая переменная величина, так как при произвольном все значения переменной, начиная с некоторого, по абсолютной величине будут больше М.

Переменная величина х «стремится к плюс бесконечности», если при произвольном М > 0 все последующие значения переменной, начиная с некоторого, будут удовлетворять неравенству

Примером переменной величины, стремящейся к плюс бесконечности, может служить переменная величина принимающая значения

Переменная величина х «стремится к минус бесконечности», , если при произвольном все последующие значения переменной, начиная с некоторого, будут удовлетворять неравенству

Например, переменная принимающая значения стремится к минус бесконечности.