§ 5. Замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Пусть дан интеграл

где функция непрерывна на отрезке

Введем новую переменную t по формуле

Если

1)

2) непрерывны на отрезке ,

3) определена и непрерывна на отрезке , то

Доказательство. Если есть первообразная для функции то можем написать следующие равенства:

Справедливость последнего равенства проверяется дифференцированием обеих частей по t. (Оно также следует из формулы (2) § 4 гл. X.) Из равенства (2) получаем

Из равенства (3) получаем

Правые части последних выражений равны, следовательно, равны и левые.

Рис. 221.

Замечание. Отметим, что при вычислении определенного интеграла по формуле (1) мы не возвращаемся к старой переменной. Если мы вычислим второй из определенных интегралов равенства (1), то мы получим некоторое число; этому же числу равняется и первый интеграл.

Пример. Вычислить интеграл

Решение. Сделаем замену переменной:

Определим новые пределы: при при Следовательно,

Вычисленный интеграл с геометрической точки зрения представляет площадь круга, ограниченного окружностью