§ 27. Геометрическое значение производной радиус-вектора по полярному углу
Пусть имеем уравнение кривой в полярных координатах:
Напишем формулы перехода от полярных координат к прямоугольным декартовым:
Подставляя сюда вместо 
его выражение через 0 из уравнения (1), будем иметь:
Уравнения (2) являются параметрическими уравнениями данной кривой, причем параметром является полярный угол 
(рис. 91).
Рис. 91.
Если через 
обозначим угол, составленный касательной к кривой в некоторой точке 
с положительным направлением оси абсцисс, то будем иметь
Обозначим через 
угол между направлением радиус-вектора и касательной. Очевидно, что 
Подставляя сюда вместо 
его выражение (3) и производя преобразование, получим
или
Таким образом, производная радиус-вектора по полярному углу равна длине радиус-вектора, умноженной на котангенс угла между радиус-вектором и касательной к кривой в данной точке.
Пример. Показать, что касательная к логарифмической спирали 
пересекается с радиус-вектором под постоянным углом.
Решение. Из уравнения спирали находим 
На основании формулы (4) получаем
