Главная > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Упражнения к главе XII

Вычисление площадей

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Отв.

2. Найти площадь фигуры, ограниченной равнобочной гиперболой осью и прямыми Отв.

3. Найти площадь фигуры, заключенной между кривой и осью Ох. Отв. 32/3,

4. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой Отв.

5. Найти площадь фигуры, ограниченной цепной линией осью осью и прямой а. Отв.

6. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой прямой и осью Отв. 12.

7. Найти площадь области, ограниченной одной полуволной синусоиды и осью абсцисс. Отв. 2.

8. Найти площадь области, заключенной между параболами Отв.

9. Найти всю площадь фигуры, ограниченной линиями Отв. 3/2.

10. Найти площадь области, ограниченной одной аркой циклоиды и осью абсцисс. Отв.

11. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой Отв.

12. Найти площадь всей области, ограниченной лемнискатой Отв.

13. Вычислить площадь области, ограниченной одной петлей кривой Отв.

14. Вычислить полную площадь области, ограниченной кардиоидой Отв.

15. Найти площадь области, ограниченной кривой Отв.

16. Найти площадь области, ограниченной кривой Отв.

17. Найти площадь области, ограниченной кривой Отв.

18. Найти площадь области, ограниченной кривой

Вычисление объемов

19. Эллипс вращается вокруг Найти объем тела вращения. Отв.

20. Отрезок прямой, соединяющий начало координат с точкой вращается вокруг оси у. Найти объем полученного конуса. Отв.

21. Найти объем тора, образованного вращением окружности вокруг оси что ). Отв.

22. Фигура, ограниченная линиями а, вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения. Отв. .

23. Фигура, ограниченная астроидой вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения. Отв.

24. Фигура, ограниченная одной дугой синусоиды и осью О вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения. Отв.

25. Фигура, ограниченная параболой и прямой вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения. Отв.

26. Фигура, ограниченная кривой и прямыми вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения.

27. Фигура, ограниченная одной аркой циклоиды и осью вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения. Отв.

28. Та же фигура, что и в задаче 27, вращается вокруг оси у. Найти объем тела вращения. Отв.

29. Та же фигура, что и в задаче 27, вращается вокруг прямой, параллельной оси и проходящей через вершину циклоиды. Найти объем тела вращения. Отв.

30. Та же фигура, что и в задаче 27, вращается вокруг прямой, параллельной оси и проходящей через вершину циклоиды. Найти объем тела вращения. Отв.

31. Цилиндр радиуса R пересечен плоскостью, проходящей через диаметр основания под углом а к плоскости основания. Найти объем отсеченной части. Отв. а.

32. Найти объем, общий двум цилиндрам Отв.

33. Точка пересечения диагоналей квадрата перемещается вдоль диаметра круга радиуса а; при этом плоскость, в которой лежит квадрат, все время остается перпендикулярной к плоскости круга, а две противоположные вершины квадрата перемещаются по окружности (при движении величина квадрата, очевидно, меняется). Найти объем тела, образуемого этим движущимся квадратом. Отв.

34. Вычислить объем сегмента, отсекаемого от эллиптического параболоида плоскостью Отв.

35. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостями цилиндрическими поверхностями и плоскостью Отв. первом октанте).

36. Прямая движется параллельно плоскости пересекая два эллипса лежащих в плоскостях Вычислить объем полученного тела. Отв.

Вычисление длин дуг

37. Найти всю длину астроиды Отв. 6а.

38. Вычислить длину дуги полукубической параболы от начала координат до точки с абсциссой Отв.

39. Найти длину цепной линии от начала координат до точки Отв.

40. Найти длину одной арки циклоиды Отв. 8а.

41. Найти длину дуги кривой в пределах до Отв.

42. Найти длину дуги кривой в пределах Отв.

43. Найти длину спирали Архимеда от полюса до конца первого завитка. Отв.

44. Найти длину спирали от полюса до точки (р, ), Отв.

45. Найти всю длину кривой Отв,

46. Найти длину эволюты эллипса От.

47. Найти длину кардиоиды . Отв.

48. Найти длину дуги эвольвенты окружности от до Отв.

Вычисление площадей поверхностей тел вращения

49. Найти площадь поверхности, полученной вращением параболы вокруг оси от начала О до точки с абсциссой За. Отв.

50. Найти площадь поверхности конуса, образуемого вращением отрезка прямой до Вокруг оси Ох. Отв. Вокруг оси Отв. .

51. Найти площадь поверхности тора, полученного вращением круга вокруг оси Отв.

52. Найти площадь поверхности тела, образованного вращением кардиоиды вокруг оси х. Кардиоида задана параметрическими уравнениями Отв.

53. Найти площадь поверхности тела, полученного вращением одной арки циклоиды около оси Ох. Отв.

54. Арка циклоиды (см. задачу 53) вращается около оси Найти поверхность тела вращения. Отв.

55. Арка циклоиды (см. задачу 53) вращается около касательной, параллельной оси и проходящей через вершину. Найти поверхность тела вращения. Отв.

56. Астроида вращается около оси Ох. Найти поверхность тела вращения: Отв.

57. Дуга синусоиды от до вращается около оси Ох. Найти поверхность тела вращения. Отв.

58. Эллипс вращается вокруг оси Ох. Найти поверхность тела вращения. Отв. где

Различные приложения определенного интеграла

59. Найти центр масс площади четверти эллипса Отв.

60. Найти центр масс площади фигуры, ограниченной параболой и осью Ох. Отв. (0; 8/5).

61. Найти центр масс объема полушара. Отв. На оси симметрии, на расстоянии от основания.

62. Найти центр масс поверхнссти полушара. Отв. На оси симметрии, на расстоянии от основания.

63. Найти центр масс поверхности кругового прямого конуса, радиус основания которого а высота h. Отв. На оси симметрии, на расстоянии от основания.

64. Фигура ограничена линиями Найти центр масс площади этой фигуры. Отв.

65. Найти центр масс площади фигуры, ограниченной параболами Отв. (9; 9).

66. Найти центр масс площади кругового сектора с центральным углом и радиусом R. Отв. На оси симметрии, на расстоянии от вершины сектора.

67. Найти величину давления воды на прямоугольник, вертикально погруженный в воду, если известно, что основание его равно высота верхнее основание параллельно свободной поверхности воды и находится на глубине Отв. Н.

68. Верхний край шлюза, имеющего форму квадрата со стороной, равной лежит на поверхности воды. Определить величину давления на каждую из частей шлюза, образуемую делением квадрата одной из его диагоналей. Отв. 853333,3 Н, 1706666,7 Н.

69. Вычислить работу, необходимую для того, чтобы выкачать воду из полусферического сосуда, диаметр которого равен Отв. Дж.

70. Тело движется прямолинейно по закону где длина пути, проходимого за время Сопротивление среды пропорционально квадрату скорости, причем коэффициент пропорциональности равен k. Найти работу, производимую сопротивлением при передвижении тела от точки до точки а. Отв.

71. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать жидкость плотностью у из резервуара, имеющего форму обращенного вершиной книзу конуса, высота которого Я, а радиус основания R. Отв.

72. Деревянный поплавок цилиндрической формы, площадь основания которого а высота см, плавает на поверхности воды. Какую работу нужно затратить, чтобы вытащить поплавок на поверхность? (Плотность дерева ) Отв. Дж.

73. Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, имеющую форму равнобочной трапеции, верхнее основание которой нижнее а высота Отв. Н.

74. Найти осевую составляющую полного давления пара на сферическое дно котла. Диаметр цилиндрической части котла D мм, давление пара в котле Па. Отв.

75. Конец вертикального вала радиуса поддерживается плоским подпятником. Вес вала Р распределяется равномерно на всю поверхность опоры. Вычислить полную работу сил трения при одном обороте вала. Коэффициент трения х. Отв.

76. Вертикальный вал оканчивается пятой, имеющей форму усеченного конуса. Удельное давление пяты на подпятник постоянно и равно Р. Верхний диаметр пяты D, нижний d, угол при вершине конуса . Коэффициент трения Найти работу сил трения за один оборот вала. Отв.

77. Призматический стержень длины растягивается медленно возрастающей от 0 до Р силой так, что в каждый момент растягивающая сила уравновешивается силами упругости стержня. Вычислить работу А, затраченную силой на растяжение, предполагая, что растяжение происходило в пределах упругости. Площадь поперечного сечения стержня равна модуль упругости материала равен Е.

Указание. Если х — удлинение стержня, a -соответствующая сила, то Удлинение под действием силы Р равно . Отв.

78. Призматический брус подвешен вертикально, и к нижнему его концу приложена растягивающая сила Р. Вычислить удлинение бруса под действием силы его веса и силы Р, если дано, что длина бруса в нерастянутом состоянии

равна I, площадь поперечного сечения F, вес бруса Q и модуль упругости материала . Отв.

79. Определить время, в течение которого жидкость выльется из призматического сосуда, наполненного до высоты Я. Площадь поперечного сечения сосуда F, площадь отверстия скорость истечения определяется по формуле где - коэффициент вязкости, - ускорение силы тяжести, h — расстояние от отверстия до уровня жидкости. Отв.

80. Определить расход Q воды (количество воды, вытекающей в единицу времени) через водослив прямоугольного сечения. Высота водослива , ширина b. Отв.

81. Определить расход воды Q, вытекающей из бокового прямоугольного отверстия высотой а и шириной если высота свободной поверхности воды над нижней стороной отверстия равна Н. Отв.

1
Оглавление
email@scask.ru