Упражнения к главе XII

Вычисление площадей

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Отв.

2. Найти площадь фигуры, ограниченной равнобочной гиперболой осью и прямыми Отв.

3. Найти площадь фигуры, заключенной между кривой и осью Ох. Отв. 32/3,

4. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой Отв.

5. Найти площадь фигуры, ограниченной цепной линией осью осью и прямой а. Отв.

6. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой прямой и осью Отв. 12.

7. Найти площадь области, ограниченной одной полуволной синусоиды и осью абсцисс. Отв. 2.

8. Найти площадь области, заключенной между параболами Отв.

9. Найти всю площадь фигуры, ограниченной линиями Отв. 3/2.

10. Найти площадь области, ограниченной одной аркой циклоиды и осью абсцисс. Отв.

11. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой Отв.

12. Найти площадь всей области, ограниченной лемнискатой Отв.

13. Вычислить площадь области, ограниченной одной петлей кривой Отв.

14. Вычислить полную площадь области, ограниченной кардиоидой Отв.

15. Найти площадь области, ограниченной кривой Отв.

16. Найти площадь области, ограниченной кривой Отв.

17. Найти площадь области, ограниченной кривой Отв.

18. Найти площадь области, ограниченной кривой

Вычисление объемов

19. Эллипс вращается вокруг Найти объем тела вращения. Отв.

20. Отрезок прямой, соединяющий начало координат с точкой вращается вокруг оси у. Найти объем полученного конуса. Отв.

21. Найти объем тора, образованного вращением окружности вокруг оси что ). Отв.

22. Фигура, ограниченная линиями а, вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения. Отв. .

23. Фигура, ограниченная астроидой вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения. Отв.

24. Фигура, ограниченная одной дугой синусоиды и осью О вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения. Отв.

25. Фигура, ограниченная параболой и прямой вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения. Отв.

26. Фигура, ограниченная кривой и прямыми вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения.

27. Фигура, ограниченная одной аркой циклоиды и осью вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения. Отв.

28. Та же фигура, что и в задаче 27, вращается вокруг оси у. Найти объем тела вращения. Отв.

29. Та же фигура, что и в задаче 27, вращается вокруг прямой, параллельной оси и проходящей через вершину циклоиды. Найти объем тела вращения. Отв.

30. Та же фигура, что и в задаче 27, вращается вокруг прямой, параллельной оси и проходящей через вершину циклоиды. Найти объем тела вращения. Отв.

31. Цилиндр радиуса R пересечен плоскостью, проходящей через диаметр основания под углом а к плоскости основания. Найти объем отсеченной части. Отв. а.

32. Найти объем, общий двум цилиндрам Отв.

33. Точка пересечения диагоналей квадрата перемещается вдоль диаметра круга радиуса а; при этом плоскость, в которой лежит квадрат, все время остается перпендикулярной к плоскости круга, а две противоположные вершины квадрата перемещаются по окружности (при движении величина квадрата, очевидно, меняется). Найти объем тела, образуемого этим движущимся квадратом. Отв.

34. Вычислить объем сегмента, отсекаемого от эллиптического параболоида плоскостью Отв.

35. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостями цилиндрическими поверхностями и плоскостью Отв. первом октанте).

36. Прямая движется параллельно плоскости пересекая два эллипса лежащих в плоскостях Вычислить объем полученного тела. Отв.

Вычисление длин дуг

37. Найти всю длину астроиды Отв. 6а.

38. Вычислить длину дуги полукубической параболы от начала координат до точки с абсциссой Отв.

39. Найти длину цепной линии от начала координат до точки Отв.

40. Найти длину одной арки циклоиды Отв. 8а.

41. Найти длину дуги кривой в пределах до Отв.

42. Найти длину дуги кривой в пределах Отв.

43. Найти длину спирали Архимеда от полюса до конца первого завитка. Отв.

44. Найти длину спирали от полюса до точки (р, ), Отв.

45. Найти всю длину кривой Отв,

46. Найти длину эволюты эллипса От.

47. Найти длину кардиоиды . Отв.

48. Найти длину дуги эвольвенты окружности от до Отв.

Вычисление площадей поверхностей тел вращения

49. Найти площадь поверхности, полученной вращением параболы вокруг оси от начала О до точки с абсциссой За. Отв.

50. Найти площадь поверхности конуса, образуемого вращением отрезка прямой до Вокруг оси Ох. Отв. Вокруг оси Отв. .

51. Найти площадь поверхности тора, полученного вращением круга вокруг оси Отв.

52. Найти площадь поверхности тела, образованного вращением кардиоиды вокруг оси х. Кардиоида задана параметрическими уравнениями Отв.

53. Найти площадь поверхности тела, полученного вращением одной арки циклоиды около оси Ох. Отв.

54. Арка циклоиды (см. задачу 53) вращается около оси Найти поверхность тела вращения. Отв.

55. Арка циклоиды (см. задачу 53) вращается около касательной, параллельной оси и проходящей через вершину. Найти поверхность тела вращения. Отв.

56. Астроида вращается около оси Ох. Найти поверхность тела вращения: Отв.

57. Дуга синусоиды от до вращается около оси Ох. Найти поверхность тела вращения. Отв.

58. Эллипс вращается вокруг оси Ох. Найти поверхность тела вращения. Отв. где

Различные приложения определенного интеграла

59. Найти центр масс площади четверти эллипса Отв.

60. Найти центр масс площади фигуры, ограниченной параболой и осью Ох. Отв. (0; 8/5).

61. Найти центр масс объема полушара. Отв. На оси симметрии, на расстоянии от основания.

62. Найти центр масс поверхнссти полушара. Отв. На оси симметрии, на расстоянии от основания.

63. Найти центр масс поверхности кругового прямого конуса, радиус основания которого а высота h. Отв. На оси симметрии, на расстоянии от основания.

64. Фигура ограничена линиями Найти центр масс площади этой фигуры. Отв.

65. Найти центр масс площади фигуры, ограниченной параболами Отв. (9; 9).

66. Найти центр масс площади кругового сектора с центральным углом и радиусом R. Отв. На оси симметрии, на расстоянии от вершины сектора.

67. Найти величину давления воды на прямоугольник, вертикально погруженный в воду, если известно, что основание его равно высота верхнее основание параллельно свободной поверхности воды и находится на глубине Отв. Н.

68. Верхний край шлюза, имеющего форму квадрата со стороной, равной лежит на поверхности воды. Определить величину давления на каждую из частей шлюза, образуемую делением квадрата одной из его диагоналей. Отв. 853333,3 Н, 1706666,7 Н.

69. Вычислить работу, необходимую для того, чтобы выкачать воду из полусферического сосуда, диаметр которого равен Отв. Дж.

70. Тело движется прямолинейно по закону где длина пути, проходимого за время Сопротивление среды пропорционально квадрату скорости, причем коэффициент пропорциональности равен k. Найти работу, производимую сопротивлением при передвижении тела от точки до точки а. Отв.

71. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать жидкость плотностью у из резервуара, имеющего форму обращенного вершиной книзу конуса, высота которого Я, а радиус основания R. Отв.

72. Деревянный поплавок цилиндрической формы, площадь основания которого а высота см, плавает на поверхности воды. Какую работу нужно затратить, чтобы вытащить поплавок на поверхность? (Плотность дерева ) Отв. Дж.

73. Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, имеющую форму равнобочной трапеции, верхнее основание которой нижнее а высота Отв. Н.

74. Найти осевую составляющую полного давления пара на сферическое дно котла. Диаметр цилиндрической части котла D мм, давление пара в котле Па. Отв.

75. Конец вертикального вала радиуса поддерживается плоским подпятником. Вес вала Р распределяется равномерно на всю поверхность опоры. Вычислить полную работу сил трения при одном обороте вала. Коэффициент трения х. Отв.

76. Вертикальный вал оканчивается пятой, имеющей форму усеченного конуса. Удельное давление пяты на подпятник постоянно и равно Р. Верхний диаметр пяты D, нижний d, угол при вершине конуса . Коэффициент трения Найти работу сил трения за один оборот вала. Отв.

77. Призматический стержень длины растягивается медленно возрастающей от 0 до Р силой так, что в каждый момент растягивающая сила уравновешивается силами упругости стержня. Вычислить работу А, затраченную силой на растяжение, предполагая, что растяжение происходило в пределах упругости. Площадь поперечного сечения стержня равна модуль упругости материала равен Е.

Указание. Если х — удлинение стержня, a -соответствующая сила, то Удлинение под действием силы Р равно . Отв.

78. Призматический брус подвешен вертикально, и к нижнему его концу приложена растягивающая сила Р. Вычислить удлинение бруса под действием силы его веса и силы Р, если дано, что длина бруса в нерастянутом состоянии

равна I, площадь поперечного сечения F, вес бруса Q и модуль упругости материала . Отв.

79. Определить время, в течение которого жидкость выльется из призматического сосуда, наполненного до высоты Я. Площадь поперечного сечения сосуда F, площадь отверстия скорость истечения определяется по формуле где - коэффициент вязкости, - ускорение силы тяжести, h — расстояние от отверстия до уровня жидкости. Отв.

80. Определить расход Q воды (количество воды, вытекающей в единицу времени) через водослив прямоугольного сечения. Высота водослива , ширина b. Отв.

81. Определить расход воды Q, вытекающей из бокового прямоугольного отверстия высотой а и шириной если высота свободной поверхности воды над нижней стороной отверстия равна Н. Отв.