§ 8. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях

Пусть функция дифференцируема в точке Найдем полное приращение этой функции

откуда

Мы имели приближенную формулу

где

Подставляя в формулу (1) вместо развернутое выражение для получим приближенную формулу

верную с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно .

Покажем, как используются формулы (2) и (4) для приближенных вычислений.

Задача. Вычислить объем материала, нужного для изготовления цилиндрического стакана следующих размеров (рис. 175): радиус внутреннего цилиндра R, высота внутреннего цилиндра Н, толщина стенок и дна стакана

Рис. 175.

Решение. Дадим два решения этой задачи: точное и приближенное.

а) Точное решение. Искомый объем v авен разности объемов внешнего цилиндра и внутреннего цилиндра. Так как радиус внешнего цилиндра равен , а высота , то или

б) Приближенное решение. Обозначим через/объем внутреннего цилиндра, тогда . Это — функция двух переменных R и Н. Если увеличим R и Н на то функция получит приращение но это и будет искомый объем

На основании соотношения (1) имеем приближенное равенство или , то получаем

Сравнивая результаты (5) и (6), видим, что они отличаются на величину состоящую из членов второго и третьего порядка малости относительно

Применим эти формулы к числовым примерам.

Пусть см.

Применяя (5), получим точно

Применяя формулу (6), цолучим приближенно

Следовательно, приближенная формула (6) дает ответ с погрешностью, меньшей что составляет менее 2% измеренной величины.