§ 9. Интегрирование рациональных дробей
Пусть требуется вычислить интеграл от рациональной дроби 
т. е. интеграл 
Если данная дробь неправильная, то мы представляем ее в виде суммы многочлена 
и правильной рациональной дроби 
(см. § 7). Последнюю же представляем по формуле (5)
§ 8 в виде суммы простейших дробей. Таким образом, интегрирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и нескольких простейших дробей.
Из результатов § 8 следует, что вид простейших дробей определяется корнями знаменателя 
Здесь возможны следующие случаи.
I случай. Корни знаменателя действительны и различны, т. е.
В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби I типа:
и тогда
II случай. Корни знаменателя действительные, причем некоторые из них кратные:
В этом случае дробь 
разлагается на простейшие дроби
I и II типов.
Пример 1 (см. пример в § 8).
III случай. Среди корней знаменателя есть комплексные неповторяющиеся (т. е. различные):
В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби I, II и III типов.
Пример 2. Требуется вычислить интеграл 
Разложим подынтегральную дробь на простейшие 
Следовательно,
Полагая 
получим 
полагая 
получим 
Приравнивая коэффициенты при 
получим 
откуда 
Таким образом,
IV случай. Среди корней знаменателя есть комплексные кратные:
В этом случае разложение дроби будет содержать и простейшие дроби IV типа.
Пример 3. Требуется вычислить интеграл
Решение. Разлагаем дробь на простейшие:
откуда
Комбинируя указанные выше методы определения коэффициентов, находим
Таким образом, получаем
Первый интеграл, стоящий справа, был рассмотрен в примере 2 § 7. Второй интеграл берется непосредственно.
Из всего изложенного следует, что интеграл от любой рациональной функции может быть выравнен через элементарные функции в конечном виде, а именно:
1) через логарифмы в случае простейших дробей I типа;
2) через рациональные функции — в случае простейших дробей II типа;
3) через логарифмы и арктангенсы в случае простейших дробей III типа;
4) через рациональные функции и арктангенсы в случае простейших дробей IV типа.
