§ 16. Формула Тейлора для функции двух переменных
Пусть функция двух переменных
непрерывна вместе со всеми своими частными производными до 
порядка включительно в некоторой окрестности точки
М(а, b). Тогда, аналогично тому, как это было в случае функции одной переменной (см. § 6 гл. IV), функцию двух переменных представим в виде суммы многочлена 
порядка по степеням 
и 
и некоторого остаточного члена. Ниже будет показано, что для случая 
эта формула имеет вид
где коэффициенты 
не зависят от 
остаточный член, структура которого аналогична структуре остаточного члена в формуле Тейлора для функции одной переменной.
Применим формулу Тейлора для функции 
одной переменной у, считая 
постоянным (ограничимся членами второго порядка):
где 
Функции 
разложим по формуле Тейлора по степеням 
а, ограничиваясь смешанными производными до третьего порядка включительно:
где 
где 
где 
Подставляя выражения (3), (4) и (5) в формулу (2), получим
Располагая слагаемые так, как указано в формуле (1), получим 
Это и есть формула Тейлора при 
Выражение
называется остаточным членом. Обозначим, далее, 
Преобразуем 
Так как 
и третьи производные, по условию, ограничены, то коэффициент при 
ограничен в рассматриваемой области; обозначим его через 
Тогда можем написать
Формула Тейлора (6) в принятых обозначениях для случая 
примет вид
При любом n формула Тейлора имеет аналогичный вид.
