Упражнения к главе V

Найти экстремумы функций:

Найти наибольшие и наименьшие значения функции на указанных отрезках:

Отв. Наибольшее значение при

наименьшее при

Отв. Наибольшее значение при наименьшее значение

при Отв. Наибольшее значение при

наименьшее значение при Отв. Наибольшее значение при наименьшее значение при

Из квадратного жестяного листа со стороной а желают сделать открытый сверху ящик возможно большего объема, вырезая равные квадраты по углам, удаляя их и затем загибая жесть, чтобы образовать бока ящика. Какова должна быть длина стороны вырезаемых квадратов? Отв.

Доказать, что из всех прямоугольников, которые могут быть вписаны в данный круг, наибольшую площадь имеет квадрат. Показать также, что у квадрата и периметр будет наибольший.

38. Показать, что из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, наибольший периметр имеет равносторонний треугольник.

39. Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, имеющий гипотенузой отрезок h. Отв. Длина каждого катета равна

40. Найти высоту прямого цилиндра с наибольшим объемом, который может быть вписан в шар радиуса R. Отв. Высота равна

41. Найти высоту прямого цилиндра с наибольшей боковой поверхностью, который может быть вписан в данный шар радиуса R, Omet Высота равна

42. Найти высоту прямого конуса с наименьшим объемом, описанного около данного шара радиуса R, Отв, Высота равна конуса равен двум объемам шара).

43. Резервуар, который должен иметь квадратное дно и быть открытым сверху, нужно выложить внутри свинцом. Каковы должны быть размеры резервуара емкостью чтобы выкладка требовала наименьшего количества свйнца? Отв. Высота сторона основания е. сторона основания должна быть вдвое больше высоты).

44. Кровельщик желает сделать открытый желоб наибольшей вместимости, у которого дно и бока были бы шириной 10 см и бока были бы одинаково

наклонены ко дну. Какова должна быть ширина желоба наверху? Отв. 20 см.

45. Доказать, что комический шатер данной вместимости требует наименьшего количества материи, когда его высота в 2 раза больше радиуса основания.

46. Требуется изготовить цилиндр, открытый сверху, стенки и дно которого имеют данную толщину. Каковы должны быть размеры цилиндра, чтобы при данной вместимости на него пошло наименьшее количество материала? Отв. Если R — внутренний радиус основания, -внутренний объем цилиндра, то

47. Требуется построить котел, состоящий из цилиндра, завершенного двумя полусферами, со стенками постоянной толщины так, чтобы при данном объеме v он имел наименьшую наружную поверхность. Отв. Котел должен иметь форму шара с внутренним радиусом

48. Построить равнобочную трапецию, которая при данной площади 5 имела бы наименьший периметр; угол при основании трапеции равен а. Отв. Длина боковой стороны равна

49. Вписать в данный шар радиуса R правильнуютреугольную призму наибольшего объема. Отв. Высота призмы равна

50. Около полушара радиуса R требуется описать конус наименьшего объема; плоскость основания конуса совпадает с плоскостью основания полушара; найти высоту конуса. Отв. Высота конуса равна

Описать около данного цилиндра радиуса прямой конус наименьшего объема, полагая, что плоскости и центры круговых оснований цилиндра и конуса совпадают. Отв. Радиус основания конуса равен

Из листа, имеющего форму круга радиуса R, вырезать такой сектор, чтобы, свернув его, получить воронку наибольшей вместимости. Отв. Центральный угол сектора равен

Из всех круглых цилиндров, вписанных в данный куб с ребром а таким образом, что оси их совпадают с диагональю куба, а окружности оснований касаются его граней, найти наибольшей Отв. Высота цилиндра равна радиус основания равен

В прямоугольной системе координат дана точка , лежащая в первом квадранте. Провести через эту точку прямую так, чтобы она образовала с положительными направлениями осей координат треугольник наименьшей площади. Отв. Прямая отсекает на осях отрезки т. е. имеет уравнение

55. На оси параболы дана точка на расстоянии а от вершины; найти абсциссу ближайшей к ней точки кривой. Отв.

56. Принимая, что прочность бруска с прямоугольным поперечным сечением прямо пропорциональна ширине и кубу высоты, найти ширину бруска наибольшей прочности, который можно вырезать из бревна диаметром 16см. Отв. Ширина равна 8 см.

57. Миноносец стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки берега; с миноносца надо послать гонца в военный лагерь, расположенный в 15 км, считая по берегу от ближайшей к миноносцу точки берега. Если гонец может делать пешком по 5 км в час, а на веслах по 4 км в час, то в каком пункте берега он должен пристать, чтобы поспеть в лагерь в кратчайшее время. Отв. В 3 км от лагеря.

58. Точка перемещается прямолинейно по плоскости в среде, расположенной вне линии MN со скоростью а по линии MN со скоростью По какому пути она переместится в наименьший промежуток времени из точки А в точку В, расположенную на линии MN? Расстояние точки А от линии MN равно h, расстояние проекции а точки А на линию MN от В равно а.

59. Груз с массой w подымают рычагом, причем сила F приложена к одному концу, а точка опоры находится на другом конце рычага. Если груз привешен к точке, находящейся на расстоянии а см от точки опоры, а масса стержня рычага равна на каждый сантиметр длины, то какова должна быть длина рычага, чтобы сила, потребная для поднятия груза, была наименьшая? Отв.

При измерениях неизвестной величины получены числа: Показать, что сумма Квадратов погрешностей наименьшей, если за принять число

Чтобы по возможности уменьшить трение жидкости о стенки канала, площадь, смачиваемая водой, должна быть возможно меньшей. Показать, что лучшей формой открытого прямоугольного канала с заданной площадью поперечного сечения является такая, при которой ширина канала вдвое превышает его высоту.

Определить точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости кривых:

72. . Отв. При кривая выпукла; при кривая вогнута; при точка перегиба. 63. Кривая всюду выпукла. Отв. При точка перегиба. Отв. При точка перегиба. Отв. Кривая всюду вогнута. Отв. При точки перегиба. 68. . Отв. При точки перегиба. 69. Отв. При точка перегиба. Отв. При точка перегиба. Отв. Кривая не имеет точек перегиба.

Найти асимптоты следующих кривых:

Исследовать функции и построить их графики:

Найти асимптоты линий:

Исследовать функции и построить их графики: