§ 9. Производная от сложной функции

Пусть дана сложная функция т. е. такая, что ее можно представить в следующем виде:

или (см. гл. I, § 8). В выражении переменную и называют промежуточным аргументом.

Установим правило дифференцирования сложной функции. Теорема. Если функция имеет в некоторой точке производную а функция имеет при соответствующем значении и производную то сложная функция в указанной точке также имеет производную, которая равна , где вместо и должно быть подставлено выражение . Коротко,

т. е. производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и на производную промежуточного аргумента по х.

Доказательство. При определенном значении будем иметь

При наращенном значении аргумента

Таким образом, приращению соответствует приращение которому соответствует приращение причем При будет

По условию

Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при )

где при Перепишем равенство (1) так:

Равенство (2) справедливо и при при произвольном а, так как оно превращается в тождество При будем полагать Разделим все члены равенства (2) на

По условию Переходя к пределу при в равенстве (3), получим

Пример 1. Пусть дана функция Найдем Данную функцию представим как функцию от функции следующим образом: Находим Следовательно, по формуле Подставляя вместо и его выражение, окончательно получаем

Пример 2. Дана функция Найдем

Данную функцию представим следующим образом: Находим их Следовательно,

Если функция такова, что ее можно представить в виде

то нахождение производной производится путем последовательного применения предыдущей теоремы.

По доказанному правилу имеем уиих. Применяя эту же теорему для нахождения будем иметь Подставляя выражение их в предыдущее равенство, получаем

или

Пример 3. Дана функция Найдем Представим данную функцию следующим образом: Находим Следовательно, по формуле (5) получаем или окончательно Заметим, что рассмотренная функция определена только при