§ 10. Интегралы от иррациональных функций

Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции. В этом и следующем параграфах мы рассмотрим те иррациональные функции, интегралы от которых с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций и, следовательно, до конца интегрируются.

1. Рассмотрим интеграл , где R — рациональная функция своих аргументов.

Пусть k — общий знаменатель дробей Сделаем подстановку

Тогда каждая дробная степень выразится через целую степень t и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от

Пример 1. Требуется вычислить интеграл

Решение. Общий знаменатель дробей 1/2, 3/4 есть 4; поэтому делаем подстановку тогда

II. Рассмотрим теперь интеграл вида

Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки

где k - общий знаменатель дробей

Пример 2. Требуется вычислит интеграл

Решение. Делаем подстановку ; тогда