§ 10. Интегралы от иррациональных функций
Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции. В этом и следующем параграфах мы рассмотрим те иррациональные функции, интегралы от которых с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций и, следовательно, до конца интегрируются.
1. Рассмотрим интеграл 
, где R — рациональная функция своих аргументов.
Пусть k — общий знаменатель дробей 
Сделаем подстановку 
Тогда каждая дробная степень 
выразится через целую степень t и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от 
Пример 1. Требуется вычислить интеграл
Решение. Общий знаменатель дробей 1/2, 3/4 есть 4; поэтому делаем подстановку 
тогда
II. Рассмотрим теперь интеграл вида
Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки
где k - общий знаменатель дробей 
Пример 2. Требуется вычислит интеграл
Решение. Делаем подстановку 
; тогда
