§ 11. Производная от функции, заданной неявно

Начнем рассмотрение этого вопроса с неявной функции одной переменной. Пусть некоторая функция у от определяется уравнением

Докажем следующую теорему.

Теорема. Пусть непрерывная функция у от задается неявно уравнением

где непрерывные функции в некоторой области D, содержащей точку координаты которой удовлетворяют уравнению (1); кроме того, в этой точке Тогда функция у от имеет производную

Доказательство. Пусть некоторому значению соответствует значение функции у. При этом

Дадим независимой переменной приращение Функция у получит приращение , т. е. значению аргумента соответствует значение функции . В силу уравнения будем иметь

Следовательно,

Левую часть последнего равенства, являющуюся полным приращением функции двух переменных, по формуле (5) § 7 можно переписать так:

где стремятся к нулю при и , стремящихся к нулю. Так как левая часть последнего выражения равна нулю, можно написать

Разделим последнее равенство на и вычислим

Устремим к нулю. Тогда, учитывая, что при этом также стремятся к нулю и что 0, в пределе получим

Мы доказали существование производной от функции, заданной неявно, и нашли формулу для ее вычисления.

Пр и мер 1. Уравнение определяет у как неявную функцию от х. Здесь

Следовательно, по формуле (1)

Заметим, что заданное уравнение определяет две разные функции (так как каждому значению в промежутке соответствуют два значения ); однако найденное значение справедливо как для одной, так и для другой функции.

Пример 2. Дано уравнение, связывающее Здесь

Следовательно, по формуле (1) получаем:

Рассмотрим теперь уравнение вида

Если каждой паре чисел и у из некоторой области соответствует одно или несколько значений , удовлетворяющих уравнению (3), то это уравнение неявно определяет одну или несколько однозначных функций z от х и у.

Например, уравнение неявно определяет две непрерывные функции от х, у, которые можно выразить явно, разрешив уравнение относительно ; в этом случае мы получаем:

Найдем частные производные и неявной функции z от х и у, определяемой уравнением (3).

Когда мы ищем мы считаем у постоянным. Поэтому здесь применима формула (2), если только независимой переменной считать а функцией . Следовательно,

Такем же путем находим

Предполагается, что 0.

Аналогичным образом определяются неявные функции любого числа переменных и находятся их частные производные.

Пример

Дифференцируя эту функцию как явную (после разрешения уравнения относительно ), мы получили бы тот же результат.

Пример . Здесь

Замечание. Все рассуждения этого параграфа производились в предположении, что уравнение определяет некоторую функцию одной переменной уравнение определяет некоторую функцию двух переменных Укажем без доказательства, какому условию должна удовлетворять функция чтобы уравнение определяло однозначную функцию

Теорема. Пусть функция непрерывна в окрестности точки и имеет там непрерывные частные производные, причем и пусть Тогда существует окрестность, содержаищя точку в которой уравнение определяет однозначную функцию

Аналогичная теорема имеет место и для условий существования неявной функции, определяемой уравнением

Замечание. При выводе правил дифференцирования неявных функций мы пользовались условиями, которые и определяют существование неявных функций.