§ 19. Гиперболические функции

Во многих приложениях математического анализа встречаются комбинации показательных функций вида .

Эти комбинации рассматривают как новые функции и обозначают так:

Первую из функций (1) называют гиперболическим синусом, вторую — гиперболическим косинусом. G помощью этих функций

Функции определены, очевидно, для всех значений х. Функция же определена всюду, за исключением точки х = 0. Графики гиперболических функций представлены на рис. 80, 81, 82.

Рис. 80.

Рис. 81.

Из определения функций следуют соотношения, аналогичные соотношениям между соответствующими тригонометрическими функциями:

Действительно,

Далее, заметив, что

получаем:

Аналогично доказывается и справедливость соотношения (3).

Рис. 82.

Название «гиперболические функции» объясняется тем, что функции играют ту же роль для параметрического представления гиперболы

какую тригонометрические функции и - для параметрического представления окружности

Действительно, исключая параметр из уравнений

получим

или (уравнение окружности). Аналогично уравнения

являются параметрическими уравнениями гиперболы.

Действительно, возводя почленно в квадрат эти уравнения и вычитая из первого второе, получим:

Так как выражение в правой части на основании формулы (2) равно единице, то, следовательно,

а это и есть уравнение гиперболы.

Рассмотрим окружность с уравнением . В уравнениях параметр численно равен центральному углу АОМ или удвоенной площади S сектора АОМ, так как

Отметим без доказательства, что в параметрических уравнениях гиперболы параметр t также численно равен удвоенной площади «гиперболического сектора» АОМ (рис. 84).

Рис. 83.

Рис. 84.

Производные гиперболических функций определяются формулами

которые вытекают из самого определения гиперболических функций; например, для функции имеем