§ 11. Сравнение бесконечно малых

Пусть одновременно несколько бесконечно малых величин являются функциями одного и того же аргумента и стремятся к нулю при стремлении к некоторому пределу а или к бесконечности. Охарактеризуем стремление этих переменных к нулю, рассматривая их отношения.

Будем пользоваться в дальнейшем следующими определениями.

Определение 1. Если отношение имеет конечный и отличный от нуля предел, т. е. если следовательно, то бесконечно малые называются бесконечно малыми одного порядка.

Пример 1. Пусть где Бесконечно малыеа одного порядка, так как

Пример 2. При бесконечно малые являются бесконечно малыми одного и того же порядка. Доказательство проводится аналогично тому, как это сделано в примере 1.

Определение 2. Если отношение двух бесконечно малых стремится к нулю, т. е. если , то бесконечно малая называется бесконечно малой величиной высшего порядка, чем бесконечно малая а, а бесконечно малая а называется бесконечно малой низшего порядка, чем бесконечно малая .

Пример 3. Пусть Бесконечно малая Р есть бесконечно малая высшего порядка, чем бесконечно малая а, так как этом бесконечно малая а есть бесконечно малая низшего порядка, чем бесконечно малая .

Определение 3. Бесконечно малая называется бесконечно малой порядка относительно бесконечно малой а, если — бесконечно малые одного порядка, т. е. если

Пример 4. Если то при бесконечно малая есть бесконечно малая третьего порядка относительно бесконечно малой а, так как

Определение 4. Если отношение двух бесконечно малых стремится к единице, т. е. если , то бесконечно малые называют эквивалентными бесконечно малыми и пишут .

Пример 5. Пусть , где . Бесконечно малые а и Р эквивалентны, так как

Пример 6. Пусть где Бесконечно малые эквивалентны, так как

(см. пример 6 § 9).

Теорема 1. Если — эквивалентные бесконечно малые, то их разность есть бесконечно малая высшего порядка, чем а и чем . Доказательство. Действительно,

Теорема 2. Если разность двух бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка, чем а и чем , то а и суть эквивалентные бесконечно малые. Доказательство. Пусть тогда или или , т. е. . Если , то , т. е. .

Пример 7. Пусть где . Бесконечно малыеаир эквивалентны, так как их разность есть бесконечно малая высшего порядка, чем а и чем . Действительно,

Пример 8. При бесконечно малые эквивалентные бесконечно малые, так как их разность есть бесконечно малая высшего порядка, чем а и чем . Предел отношения равен 1:

Замечание. Если отношение двух бесконечно малых не имеет предела и не стремится к бесконечности, то не сравнимы между собой в указанном выше смысле.

Пример 9. Пусть а где Бесконечно малые не сравнимы, так как их отношение при не стремится ни к конечному пределу, ни к бесконечности (см. пример 4 § 3).