§ 11. Неявная функция и ее дифференцирование

Пусть значения двух переменных связаны между собой некоторым уравнением, которое мы символически обозначим так:

Если функция определенная на некотором интервале такова, что уравнение (1) при подстановке в него вместо у выражения обращается в тождество относительно то функция есть неявная функция, определенная уравнением (1).

Рис. 64.

Рис. 65.

Так, например, уравнение

неявно определяет следующие элементарные функции (рис. 64 и 65):

Действительно, после подстановки в уравнение (2) этих значений получаем тождество

Выражения (3) и (4) получились путем решения уравнения (2) относительно у. Но не всякую неявно заданную функцию можно представить явно, т. е. можно представить в виде , где есть элементарная функция.

Так, например, функции, заданные уравнениями или не выражаются через элементарные функции, т. е. эти уравнения нельзя разрешить относительно у.

Замечание 1. Отметим, что термины «явная функция» и «неявная функция» характеризуют не природу функции, а способ задания. Каждая явная функция может быть представлена и как неявная

Укажем, далее, правило нахождения производной неявной функции, не преобразовывая ее в явную, т. е. не представляя в виде y = f(x).

Допустим, что функция задана уравнением Если здесь у есть функция от определяемая этим равенством, то это равенство есть тождество.

Дифференцируя обе части этого тождества по считая, что у есть функция от получим (пользуясь правилом дифференцирования сложной функции) откуда

Заметим, что если бы мы стали дифференцировать соответствующую явную функцию то получили бы т. е. тот же результат.

Рассмотрим еще один пример неявной функции у от : Дифференцируем по откуда

Замечание 2. Из приведенных примеров следует, что для нахождения значения производной неявной функции при данном значении аргумента нужно знать и значение функции у при данном значении