§ 6. Интегрирование по частям
Пусть и и V — дифференцируемые функции от х. Тогда
Интегрируя обе части тождества в пределах от а до b, получим
Так как 
поэтому равенство (1) может быть записано в виде
или окончательно
Пример. Вычислить интеграл 
В выбранных обозначениях последнее равенство можно записать так:
откуда находим
Тем же приемом найдем
поэтому
Продолжая таким же образом далее, мы дойдем или до 
или до 
в зависимости от того, будет ли число 
четным или нечетным.
Рассмотрим два случая:
1) 
— число четное, 
2) 
— число нечетное, 
но так как
то
Из этих формул следует формула Валлиса, выражающая число 
в виде бесконечного произведения.
Действительно из последних двух равенств путем почленного деления находим
Докажем теперь, что
Для всех из интервала 
справедливы неравенства
Интегрируя в пределах от 0 до 
получим
откуда
Из равенства (2) следует
Поэтому
Из неравенства (4) получаем
Переходя к пределу в формуле (3), получим формулу Валлиса
Эту формулу можно записать в следующем виде:
