ГЛАВА VII. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ

§ 1. Комплексные числа. Исходные определения

Комплексным числом называется выражение

где а и Ь—действительные числа; - так называемая мнимая единица, определяемая равенством

а называется действительной или вещественной частью, -мнимой частью числа . Их обозначают так:

Если то число называется чисто мнимым, если то получается действительное число: Два комплексных числа отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными.

Рис. 162.

Принимаются два основных определения.

1. Два комплексных числа считаются равными: если т. е. если равны в отдельности их действительные и мнимые части.

2. Комплексное число равно нулю: тогда и только тогда, когда

1. Геометрическое изображение комплексных чисел. Всякое комплексное число можно изобразить на плоскости в виде точки с координатами а и b. Обратно, каждой точке плоскости соответствует комплексное число Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется плоскостью комплексной переменной z (рис. 162) (на плоскости ставить символ в кружке).

Точкам плоскости комплексной переменной z, лежащим на оси Ох, соответствуют действительные числа . Точки, лежащие на оси Оу, изображают чисто мнимые числа, так как в этом случае Поэтому при изображении комплексных чисел на плоскости комплексной переменной z ось О у называют осью мнимых чисел или мнимой осью, а ось Ох — действительной осью.

Соединив точку с началом координат, получим вектор ОА. В некоторых случаях удобно считать геометрическим изображением комплексного числа z = a + ib вектор ОА.

2. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Обозначим через полярные координаты точки считая начало координат полюсом, а положительное направление оси Ох — полярной осью. Тогда (рис. 162) имеют место следующие равенства: а следовательно, комплексное число можно представить в форме

или

Выражение, стоящее справа, называется тригонометрической формой записи комплексного числа называется модулем комплексного числа — аргументом комплексного числа z; они обозначаются так:

Величины выражаются через а и b, очевидно, так:

Итак,

Аргумент комплексного числа считается положительным, если он отсчитывается от положительного направления оси против часовой стрелки, и отрицательным при противоположном направлении отсчета. Очевидно, что аргумент определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого где - любое целое число.

Замечание. Сопряженные комплексные числа имеют равные модули , а их аргументы равны по абсолютной величине, но отличаются знаком: argz = -argz.

Отметим, что действительное число А также может быть записано в форме (3), в именно:

Модуль комплексного числа 0 равняется нулю . В качестве же аргумента нуля можно принять любой угол Действительно, для любого угла имеет место равенство