§ 7. Производные постоянной, произведения постоянной на функцию, суммы, произведения, частного

Теорема 1. Производная постоянной равна нулю, т.е.

Доказательство. есть такая функция от значения которой при всех равны С.

Следовательно, при любом значении

Дадим аргументу приращение Так как функция у сохраняет значение С при всех значениях аргумента, то Значит, приращение функции равно отношение приращения функции к приращению аргумента и, следовательно, , т. е.

Последний результат имеет простое геометрическое истолкование. Графиком функции служит прямая, параллельная оси Ох. Касательная к графику в любой ее точке, очевидно, совпадает с этой прямой и, следовательно, образует с осью угол, тангенс которого у равен нулю.

Теорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т. е.

Доказательство. Рассуждая так же, как и при доказательстве предыдущей теоремы, будем иметь:

Пример

т. е.

Теорема 3. Производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна соответствующей сумме производных этих функций.

Для случая, например, трех слагаемых имеем

Доказательство. Для значений аргумента

(аргумент х в обозначении функции для краткости письма опускаем).

Для значения аргумента имеем

где и - приращения функций у, u, v и w, соответствующие приращению аргумента х. Следовательно,

или

Пример 2. ,

т. е.

Теорема 4. Производная от произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную от второй функции, т. е.

Доказательство. Рассуждая, как и при доказательстве предыдущей теоремы, получим

(так как не зависят от ).

Рассмотрим последний член в правой части

Так как - дифференцируемая функция, то она непрерывна. Следовательно, Кроме того,

Таким образом, рассматриваемый член равен нулю, и мы окончательно получаем На основании доказанной теоремы легко получается правило дифференцирования произведения любого числа функций.

Так, если имеем произведение трех функций , то, представляя правую часть как произведение получим Таким приемом можем получить аналогичную формулу для производной произведения любого (конечного) числа функций. Именно, если , то

Пример 3. Если , то

Пример 4. Если , то

Теорема 5. Производная дроби (т. е. частного от деления двух функций) равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат

знаменателя данной дроби, а числитель есть разность между произведением знаменателя на производную числителя и произведением числителя на производную знаменателя, т. е.

если

Доказательство. Если суть приращения функций , соответствующие приращению аргумента то

Отсюда, заметив, что при получаем

Пример 5. Если то

Замечание. Если имеем функцию вида

где знаменатель С есть постоянная, то, дифференцируя эту функцию, нет надобности применять формулу (VIII), а целесообразнее применять формулу (V):

Конечно, этот результат получается и по формуле (VIII).

Пример 6. Если , то