§ 12. О наилучшем приближении функций многочленами. Теория Чебышева

В связи с задачей, рассмотренной в §§ 9 и 10, естественно поставить такой вопрос: пусть на отрезке задана непрерывная функция Можно ли эту функцию с любой наперед заданной степенью точности приближенно представить в виде многочлена Иначе говоря, можно ли подобрать такой многочлен чтобы разность между по абсолютной величине во всех точках отрезка была меньше любого наперед заданного положительного числа Утвердительный ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме, которую мы приводим здесь без доказательства:

Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке то для любого существует такой многочлен что во всех точках указанного отрезка выполняется неравенство

Выдающийся советский математик академик С. Н. Бернштейн дал следующий способ непосредственного построения таких многочленов,

членов, которые приближенно равны непрерывной функции на заданном отрезке.

Пусть, например, функция непрерывна на отрезке [0, 1]. Составим выражение

Здесь - биномиальные коэффициенты, - значение данной функции в точке Выражение является многочленом степени; его называют многочленом Бернштейна.

Если задано произвольное то можно подобрать такой многочлен Бернштейна (т. е. так выбрать его степень ), чтобы для всех значений на отрезке [0, 1] выполнялось неравенство

Отметим, что рассмотрение отрезка [0, 1], а не произвольного отрезка не является существенным ограничением общности, так как с помощью замены переменной можно любой Ьтрезок преобразовать в отрезок [0, 1]. При этом многочлен степени преобразуется в многочлен той же степени.

Создателем теории наилучшего приближения функций с помощью многочленов является русский математик П. Л. Чебышев (1821—1894) — один из величайших представителей математической мысли. Им получены наиболее глубокие результаты в этой области, оказавшие исключительное влияние на работу последующих математиков. Исходной точкой для создания этой теории была работа П. Л. Чебышева по теории шарнирных механизмов, широко используемых в машинах. Изучая такие механизмы, он пришел к задаче разыскания среди всех многочленов данной степени с коэффициентом при старшем члене, равным единице, такого многочлена, который меньше всех отклоняется от нуля на заданном отрезке. Такие многочлены им были найдены и впоследствии учеными названы многочленами Чебышева. Эти многочлены обладают многими замечательными свойствами и в настоящее время являются могучим средством исследования во многих вопросах математики и техники.