членов, которые приближенно равны непрерывной функции
на заданном отрезке.
Пусть, например, функция
непрерывна на отрезке [0, 1]. Составим выражение
Здесь
- биномиальные коэффициенты,
- значение данной функции в точке
Выражение
является многочленом
степени; его называют многочленом Бернштейна.
Если задано произвольное
то можно подобрать такой многочлен Бернштейна (т. е. так выбрать его степень
), чтобы для всех значений
на отрезке [0, 1] выполнялось неравенство
Отметим, что рассмотрение отрезка [0, 1], а не произвольного отрезка
не является существенным ограничением общности, так как с помощью замены переменной
можно любой Ьтрезок
преобразовать в отрезок [0, 1]. При этом многочлен
степени преобразуется в многочлен той же степени.
Создателем теории наилучшего приближения функций с помощью многочленов является русский математик П. Л. Чебышев (1821—1894) — один из величайших представителей математической мысли. Им получены наиболее глубокие результаты в этой области, оказавшие исключительное влияние на работу последующих математиков. Исходной точкой для создания этой теории была работа П. Л. Чебышева по теории шарнирных механизмов, широко используемых в машинах. Изучая такие механизмы, он пришел к задаче разыскания среди всех многочленов данной степени с коэффициентом при старшем члене, равным единице, такого многочлена, который меньше всех отклоняется от нуля на заданном отрезке. Такие многочлены им были найдены и впоследствии учеными названы многочленами Чебышева. Эти многочлены обладают многими замечательными свойствами и в настоящее время являются могучим средством исследования во многих вопросах математики и техники.