§ 22. Производные различных порядков

Пусть функция дифференцируема на некотором отрезке Значения производной вообще говоря, зависят от т. е. проиводная представляет собой тоже функцию от х. Дифференцируя эту функцию, мы получаем так называемую вторую производную от функции

Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной от первоначальной функции и обозначается символом у" или Так, например, если то

Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается через или

Вообще, производной порядка от функции называется производная (первого порядка) от производной порядка и обозначается символом ) или :

(Порядок производной берется в скобки для того, чтобы его нельзя было принять за показатель степени.)

Производные четвертого, пятого и высших порядков обозначаются также с помощью римских цифр: . В таком случае порядок производной можно писать без скобок. Например, если то

Пример 1. Дана функция Найти выражение ее производной любого порядка n.

Решение,

Пример 2. . Найти

Решение.

Аналогично выводятся формулы для производных любого порядка и от некоторых других элементарных функций. Читатель сам сможет найти формулы для производных порядка от функций

На случай производных любого порядка легко обобщаются правила, указанные в теоремах 2 и 3 § 7.

В данном случае имеют место очевидные формулы:

Выведем формулу (так называемую формулу Лейбница), дающую возможность вычислить производную порядка от произведения двух функций и Для того чтобы вывести эту формулу, мы найдем сначала несколько производных, а затем установим общий закон, пригодный для вычисления производной любого порядка:

Закон составления производных сохраняется для производных любого порядка и заключается, очевидно, в следующем.

Надо выражение разложить по формуле бинома Ньютона и в полученном разложении заменить показатели степеней для и и v указателями порядка производных, причем нулевые степени входящие в крайние члены разложения, надо заменить самими функциями (т. е. «производными нулевого порядка»):

Это и есть формула Лейбница.

Строгое доказательство этой формулы можно было бы провести методом полной математической индукции (т. е. доказать, что из справедливости этой формулы для порядка следует справедливость ее для порядка

Пример Найти производную

Решение.

или