§ 3. Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши)

Теорема Коши. Если две функции, непрерывные на отрезке и дифференцируемые внутри него, причем нигде внутри отрезка не обращается в нуль, то внутри отрезка найдется такая точка что

Доказательство. Определим число Q равенством

Отметим, что , так как в противном случае равнялось бы и тогда теореме Ролля производная обращалась бы в нуль внутри отрезка, что противоречит условию теоремы.

Составим вспомогательную функцию

Очевидно, что F(а) = 0 и F(b) = 0 (это вытекает из определения функции F(х) и определения числа Q). Заметив, что функция F(х) удовлетворяет на отрезке всем условиям теоремы Ролля, заключаем, что между а и b существует такое значение , что . Но следовательно,

откуда

Подставляя значение Q в равенство (2), получим равенство (1). Замечание. Теорему Коши нельзя доказать, как это может показаться с первого взгляда, применением теоремы Лагранжа к числителю и знаменателю дроби

Действительно, мы получили бы в этом случае (после сокращения дроби на b — а) формулу

которой Но так как, вообще говоря, то полученный результат, очевидно, не дает еще теоремы Коши.